Номер 687, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 687, страница 189.

Условие.

687. Упростите выражение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{15} + \sqrt{10}) \cdot 2\sqrt{5} - 5\sqrt{12}$, умножив каждый член в скобках на $2\sqrt{5}$:
$\sqrt{15} \cdot 2\sqrt{5} + \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} - 5\sqrt{12} = 2\sqrt{15 \cdot 5} + 2\sqrt{10 \cdot 5} - 5\sqrt{12} = 2\sqrt{75} + 2\sqrt{50} - 5\sqrt{12}$.
Теперь упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$;
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$;
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные значения обратно в выражение и приведем подобные слагаемые:
$2 \cdot 5\sqrt{3} + 2 \cdot 5\sqrt{2} - 5 \cdot 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{3} = (10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}) + 10\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
Ответ: $10\sqrt{2}$

б) В выражении $\frac{2\sqrt{70} - 2\sqrt{28}}{3\sqrt{35} - 3\sqrt{14}}$ вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:
$\frac{2(\sqrt{70} - \sqrt{28})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})}$.
Заметим, что подкоренные выражения в числителе можно разложить так, чтобы получить множители, как в знаменателе: $\sqrt{70} = \sqrt{35 \cdot 2} = \sqrt{35}\sqrt{2}$ и $\sqrt{28} = \sqrt{14 \cdot 2} = \sqrt{14}\sqrt{2}$.
Подставим это в числитель и вынесем общий множитель $\sqrt{2}$:
$\frac{2(\sqrt{35}\sqrt{2} - \sqrt{14}\sqrt{2})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{35} - \sqrt{14})}{3(\sqrt{35} - \sqrt{14})}$.
Сократим дробь на одинаковое выражение $(\sqrt{35} - \sqrt{14})$:
$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

в) Для упрощения выражения $(2\sqrt{12} - 3\sqrt{3})^2$ сначала упростим корень в скобках:
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$(2 \cdot 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2 = (4\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2$.
Выполним вычитание в скобках:
$(4\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2$.
Возведем в квадрат:
$(\sqrt{3})^2 = 3$.
Ответ: $3$

г) Чтобы упростить сумму дробей $\frac{10 - 5\sqrt{3}}{10 + 5\sqrt{3}} + \frac{10 + 5\sqrt{3}}{10 - 5\sqrt{3}}$, приведем их к общему знаменателю $(10 + 5\sqrt{3})(10 - 5\sqrt{3})$:
$\frac{(10 - 5\sqrt{3})^2 + (10 + 5\sqrt{3})^2}{(10 + 5\sqrt{3})(10 - 5\sqrt{3})}$.
Знаменатель является разностью квадратов: $10^2 - (5\sqrt{3})^2 = 100 - (25 \cdot 3) = 100 - 75 = 25$.
Для числителя используем формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$(10 - 5\sqrt{3})^2 = 100 - 2 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} + (5\sqrt{3})^2 = 100 - 100\sqrt{3} + 75 = 175 - 100\sqrt{3}$.
$(10 + 5\sqrt{3})^2 = 100 + 2 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} + (5\sqrt{3})^2 = 100 + 100\sqrt{3} + 75 = 175 + 100\sqrt{3}$.
Сложим выражения в числителе: $(175 - 100\sqrt{3}) + (175 + 100\sqrt{3}) = 350$.
В итоге получаем: $\frac{350}{25} = 14$.
Ответ: $14$