Номер 693, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 693, страница 189.

Условие.

693. Верно ли высказывание:

а) простое число не может быть чётным;

б) простое число не имеет делителей;

в) квадрат чётного числа — число чётное?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Это высказывание неверно. По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Рассмотрим число 2. Оно является чётным, так как $2 \div 2 = 1$. Также оно является простым, так как его делителями являются только 1 и 2. Таким образом, существует простое число (число 2), которое является чётным. Это единственный контрпример, но его достаточно, чтобы опровергнуть данное утверждение. Все остальные простые числа являются нечётными.
Ответ: неверно.

б) Это высказывание неверно. По определению, любое простое число $p$ имеет ровно два делителя: 1 и само число $p$. Утверждение, что у простого числа нет делителей, противоречит его определению. Например, у простого числа 5 есть два делителя: 1 и 5. У простого числа 19 есть два делителя: 1 и 19. Любое натуральное число $n > 1$ имеет как минимум два делителя (1 и $n$), поэтому утверждение, что у какого-либо числа нет делителей, в принципе неверно для натуральных чисел.
Ответ: неверно.

в) Это высказывание верно. Любое чётное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число. Найдём квадрат этого числа: $(2k)^2 = 2^2 \cdot k^2 = 4k^2$. Полученное число $4k^2$ можно представить как $2 \cdot (2k^2)$. Так как $k$ — целое число, то и $2k^2$ — тоже целое число. Обозначим $m = 2k^2$. Тогда квадрат чётного числа равен $2m$, что по определению является чётным числом, так как делится на 2 без остатка. Например, возьмём чётное число 6. Его квадрат равен $6^2 = 36$. Число 36 является чётным.
Ответ: верно.