Номер 689, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

689. Докажите, что:

а) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. В числителе применим свойство произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $:
$ \frac{\sqrt{\sqrt{18} - 3} \cdot \sqrt{\sqrt{18} + 3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{18} - 3)(\sqrt{18} + 3)}}{\sqrt{6}} $
Выражение под корнем в числителе является формулой разности квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $, где $ x = \sqrt{18} $ и $ y = 3 $:
$ (\sqrt{18} - 3)(\sqrt{18} + 3) = (\sqrt{18})^2 - 3^2 = 18 - 9 = 9 $
Подставив результат в наше выражение, получаем:
$ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} $
Чтобы привести выражение к виду правой части, представим числитель в виде корня $ 3 = \sqrt{9} $ и воспользуемся свойством частного корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $:
$ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{1,5} $
Левая часть равна $ \sqrt{1,5} $, что соответствует правой части равенства.
Ответ: Равенство доказано.

б) Для доказательства преобразуем левую часть равенства. В знаменателе применим свойство произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $:
$ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{7 + \sqrt{24}} \cdot \sqrt{7 - \sqrt{24}}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{(7 + \sqrt{24})(7 - \sqrt{24})}} $
Выражение под корнем в знаменателе является формулой разности квадратов $ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 $, где $ x = 7 $ и $ y = \sqrt{24} $:
$ (7 + \sqrt{24})(7 - \sqrt{24}) = 7^2 - (\sqrt{24})^2 = 49 - 24 = 25 $
Подставив результат в наше выражение, получаем:
$ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{10}}{5} $
Чтобы привести выражение к виду правой части, представим знаменатель в виде корня $ 5 = \sqrt{25} $ и воспользуемся свойством частного корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $:
$ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}} = \sqrt{0,4} $
Левая часть равна $ \sqrt{0,4} $, что соответствует правой части равенства.
Ответ: Равенство доказано.