Номер 692, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

692. Найдите значение выражения:

a) $0,3^{-3} + (\frac{3}{7})^{-1} + (-0,5)^{-2} \cdot \frac{3}{4} + (-1)^{-8} \cdot 6$

Для решения этого выражения вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, используя свойства степени. Основное свойство для отрицательной степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n}$.

1. Вычислим $0,3^{-3}$. Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,3 = \frac{3}{10}$.
$0,3^{-3} = (\frac{3}{10})^{-3} = (\frac{10}{3})^{3} = \frac{10^3}{3^3} = \frac{1000}{27}$.

2. Вычислим $(\frac{3}{7})^{-1}$.
$(\frac{3}{7})^{-1} = (\frac{7}{3})^{1} = \frac{7}{3}$.

3. Вычислим $(-0,5)^{-2} \cdot \frac{3}{4}$. Представим $-0,5$ в виде дроби: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
$(-0,5)^{-2} = (-\frac{1}{2})^{-2} = (-2)^{2} = 4$.
Теперь умножим результат: $4 \cdot \frac{3}{4} = 3$.

4. Вычислим $(-1)^{-8} \cdot 6$. Так как показатель степени $-8$ является четным числом, то $(-1)^{-8} = 1$.
$(-1)^{-8} \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6$.

Теперь сложим все полученные значения:
$\frac{1000}{27} + \frac{7}{3} + 3 + 6 = \frac{1000}{27} + \frac{7}{3} + 9$.
Приведем дроби к общему знаменателю 27:
$\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{63}{27}$.
$9 = \frac{9 \cdot 27}{1 \cdot 27} = \frac{243}{27}$.
Сложим дроби:
$\frac{1000}{27} + \frac{63}{27} + \frac{243}{27} = \frac{1000 + 63 + 243}{27} = \frac{1306}{27}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби:
$1306 \div 27 = 48$ (остаток $10$).
Значит, $\frac{1306}{27} = 48 \frac{10}{27}$.

Ответ: $48 \frac{10}{27}$.

б) $(\frac{2}{3})^{-2} - (\frac{1}{9})^{-1} + (\frac{6}{17})^{0} \cdot \frac{1}{8} - 0,25^{-2} \cdot 16$

Решим это выражение по действиям.

1. Вычислим $(\frac{2}{3})^{-2}$.
$(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.

2. Вычислим $(\frac{1}{9})^{-1}$.
$(\frac{1}{9})^{-1} = (\frac{9}{1})^{1} = 9$.

3. Вычислим $(\frac{6}{17})^{0} \cdot \frac{1}{8}$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1.
$(\frac{6}{17})^{0} = 1$.
$1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$.

4. Вычислим $0,25^{-2} \cdot 16$. Представим $0,25$ в виде дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
$0,25^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2} = 4^{2} = 16$.
$16 \cdot 16 = 256$.

Теперь подставим все значения в исходное выражение:
$\frac{9}{4} - 9 + \frac{1}{8} - 256$.
Сгруппируем дроби и целые числа:
$(\frac{9}{4} + \frac{1}{8}) - (9 + 256)$.
Приведем дроби к общему знаменателю 8: $\frac{9}{4} = \frac{18}{8}$.
$\frac{18}{8} + \frac{1}{8} = \frac{19}{8}$.
Вычислим сумму целых чисел: $9 + 256 = 265$.
Получаем: $\frac{19}{8} - 265$.
Переведем 265 в дробь со знаменателем 8: $265 = \frac{265 \cdot 8}{8} = \frac{2120}{8}$.
$\frac{19}{8} - \frac{2120}{8} = \frac{19 - 2120}{8} = -\frac{2101}{8}$.

Выделим целую часть:
$2101 \div 8 = 262$ (остаток $5$).
Значит, $-\frac{2101}{8} = -262 \frac{5}{8}$.
Это значение также можно представить в виде десятичной дроби: $-262,625$.

Ответ: $-262 \frac{5}{8}$.