Номер 699, страница 190 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

699. Преобразуйте в многочлен:

а) $(x - 2y)(x + 2y) + 4y^2$
Для преобразования произведения $(x - 2y)(x + 2y)$ используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
$(x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$(x^2 - 4y^2) + 4y^2 = x^2 - 4y^2 + 4y^2 = x^2$.
Ответ: $x^2$

б) $(2a - 3b)(2a + 3b) - 3a^2$
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ к выражению $(2a - 3b)(2a + 3b)$.
$(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$.
Теперь выполним вычитание:
$(4a^2 - 9b^2) - 3a^2 = 4a^2 - 9b^2 - 3a^2 = (4a^2 - 3a^2) - 9b^2 = a^2 - 9b^2$.
Ответ: $a^2 - 9b^2$

в) $(5x - 1)^2 + 10x$
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$.
Подставим в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(25x^2 - 10x + 1) + 10x = 25x^2 - 10x + 10x + 1 = 25x^2 + 1$.
Ответ: $25x^2 + 1$

г) $(3y + 4z)^2 - 8z(3y - 2z)$
Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(3y + 4z)^2 = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot 4z + (4z)^2 = 9y^2 + 24yz + 16z^2$.
Раскроем вторую часть выражения, умножив $-8z$ на скобку:
$-8z(3y - 2z) = -24yz + 16z^2$.
Сложим полученные многочлены:
$(9y^2 + 24yz + 16z^2) + (-24yz + 16z^2) = 9y^2 + 24yz - 24yz + 16z^2 + 16z^2 = 9y^2 + 32z^2$.
Ответ: $9y^2 + 32z^2$

д) $(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) + 6n^3$
Первая часть выражения является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=m$ и $b=2n$.
$(m - 2n)(m^2 + m(2n) + (2n)^2) = m^3 - (2n)^3 = m^3 - 8n^3$.
Подставим результат в исходное выражение:
$(m^3 - 8n^3) + 6n^3 = m^3 - 8n^3 + 6n^3 = m^3 - 2n^3$.
Ответ: $m^3 - 2n^3$

е) $(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) - c^2(c^4 - 1)$
Первая часть выражения — это формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=c^2$ и $b=4d$.
$(c^2 + 4d)((c^2)^2 - c^2 \cdot 4d + (4d)^2) = (c^2)^3 + (4d)^3 = c^6 + 64d^3$.
Раскроем скобки во второй части:
$-c^2(c^4 - 1) = -c^6 + c^2$.
Объединим результаты:
$(c^6 + 64d^3) + (-c^6 + c^2) = c^6 + 64d^3 - c^6 + c^2 = c^2 + 64d^3$.
Ответ: $c^2 + 64d^3$

ж) $(3x - 4y)^2 - (2x - 7y)(4x + 2y)$
Раскроем квадрат разности:
$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$.
Перемножим две скобки:
$(2x - 7y)(4x + 2y) = 2x \cdot 4x + 2x \cdot 2y - 7y \cdot 4x - 7y \cdot 2y = 8x^2 + 4xy - 28xy - 14y^2 = 8x^2 - 24xy - 14y^2$.
Теперь вычтем второе из первого:
$(9x^2 - 24xy + 16y^2) - (8x^2 - 24xy - 14y^2) = 9x^2 - 24xy + 16y^2 - 8x^2 + 24xy + 14y^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9x^2 - 8x^2) + (-24xy + 24xy) + (16y^2 + 14y^2) = x^2 + 30y^2$.
Ответ: $x^2 + 30y^2$

з) $2x(2x + 3)^2 - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$
Выражение $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$ является формулой разности кубов $a^3-b^3$, где $a=2x$ и $b=3$.
$(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$.
Теперь преобразуем первую часть. Сначала раскроем квадрат суммы:
$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.
Умножим на $2x$:
$2x(4x^2 + 12x + 9) = 8x^3 + 24x^2 + 18x$.
Вычтем второе из первого:
$(8x^3 + 24x^2 + 18x) - (8x^3 - 27) = 8x^3 + 24x^2 + 18x - 8x^3 + 27$.
Приведем подобные слагаемые:
$(8x^3 - 8x^3) + 24x^2 + 18x + 27 = 24x^2 + 18x + 27$.
Ответ: $24x^2 + 18x + 27$