Номер 705, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 705, страница 191.

Условие.

705. Сократите дробь:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $\frac{21a^3 - 6a^2b}{12ab - 42a^2}$
Для сокращения дроби разложим числитель и знаменатель на множители, вынеся общие множители за скобки.
В числителе вынесем за скобки $3a^2$: $21a^3 - 6a^2b = 3a^2(7a - 2b)$.
В знаменателе вынесем за скобки $6a$: $12ab - 42a^2 = 6a(2b - 7a)$.
Заметим, что $(2b - 7a) = -(7a - 2b)$. Тогда знаменатель можно записать как: $6a(-(7a - 2b)) = -6a(7a - 2b)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{3a^2(7a - 2b)}{-6a(7a - 2b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $3a(7a - 2b)$: $\frac{a}{-2} = -\frac{a}{2}$.
Ответ: $-\frac{a}{2}$.

б) $\frac{6m^3 + 3mn^2}{2m^3n + mn^3}$
Разложим числитель и знаменатель на множители, вынеся общие множители за скобки.
Числитель: $6m^3 + 3mn^2 = 3m(2m^2 + n^2)$.
Знаменатель: $2m^3n + mn^3 = mn(2m^2 + n^2)$.
Получаем дробь: $\frac{3m(2m^2 + n^2)}{mn(2m^2 + n^2)}$.
Сокращаем на общий множитель $m(2m^2 + n^2)$: $\frac{3}{n}$.
Ответ: $\frac{3}{n}$.

в) $\frac{x^2 - 2mx + 3x - 6m}{x^2 + 2mx + 3x + 6m}$
Разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.
Числитель: $(x^2 - 2mx) + (3x - 6m) = x(x - 2m) + 3(x - 2m) = (x + 3)(x - 2m)$.
Знаменатель: $(x^2 + 2mx) + (3x + 6m) = x(x + 2m) + 3(x + 2m) = (x + 3)(x + 2m)$.
Получаем дробь: $\frac{(x + 3)(x - 2m)}{(x + 3)(x + 2m)}$.
Сокращаем на общий множитель $(x + 3)$: $\frac{x - 2m}{x + 2m}$.
Ответ: $\frac{x - 2m}{x + 2m}$.

г) $\frac{8ab + 2a - 20b - 5}{4ab - 8b^2 + a - 2b}$
Разложим числитель и знаменатель на множители методом группировки.
Числитель: $(8ab + 2a) - (20b + 5) = 2a(4b + 1) - 5(4b + 1) = (2a - 5)(4b + 1)$.
Знаменатель: $(4ab - 8b^2) + (a - 2b) = 4b(a - 2b) + 1(a - 2b) = (4b + 1)(a - 2b)$.
Получаем дробь: $\frac{(2a - 5)(4b + 1)}{(4b + 1)(a - 2b)}$.
Сокращаем на общий множитель $(4b + 1)$: $\frac{2a - 5}{a - 2b}$.
Ответ: $\frac{2a - 5}{a - 2b}$.

д) $\frac{16a^2 - 8ab + b^2}{16a^2 - b^2}$
Используем формулы сокращенного умножения.
Числитель является квадратом разности: $16a^2 - 8ab + b^2 = (4a - b)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $16a^2 - b^2 = (4a - b)(4a + b)$.
Получаем дробь: $\frac{(4a - b)^2}{(4a - b)(4a + b)}$.
Сокращаем на общий множитель $(4a - b)$: $\frac{4a - b}{4a + b}$.
Ответ: $\frac{4a - b}{4a + b}$.

е) $\frac{9x^2 - 25y^2}{9x^2 + 30xy + 25y^2}$
Используем формулы сокращенного умножения.
Числитель является разностью квадратов: $9x^2 - 25y^2 = (3x - 5y)(3x + 5y)$.
Знаменатель является квадратом суммы: $9x^2 + 30xy + 25y^2 = (3x + 5y)^2$.
Получаем дробь: $\frac{(3x - 5y)(3x + 5y)}{(3x + 5y)^2}$.
Сокращаем на общий множитель $(3x + 5y)$: $\frac{3x - 5y}{3x + 5y}$.
Ответ: $\frac{3x - 5y}{3x + 5y}$.

ж) $\frac{a^2 - 3a}{a^2 + 3a - 18}$
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $a^2 - 3a = a(a - 3)$.
Для разложения знаменателя $a^2 + 3a - 18$ найдем корни уравнения $a^2 + 3a - 18 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1 = -6$ и $a_2 = 3$. Тогда $a^2 + 3a - 18 = (a - (-6))(a - 3) = (a + 6)(a - 3)$.
Получаем дробь: $\frac{a(a - 3)}{(a + 6)(a - 3)}$.
Сокращаем на общий множитель $(a - 3)$: $\frac{a}{a + 6}$.
Ответ: $\frac{a}{a + 6}$.

з) $\frac{4x^2 - 8x + 3}{4x^2 - 1}$
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для разложения числителя $4x^2 - 8x + 3$ найдем корни уравнения $4x^2 - 8x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$. Корни $x_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$. Тогда $4x^2 - 8x + 3 = 4(x - \frac{1}{2})(x - \frac{3}{2}) = (2x - 1)(2x - 3)$.
Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$.
Получаем дробь: $\frac{(2x - 1)(2x - 3)}{(2x - 1)(2x + 1)}$.
Сокращаем на общий множитель $(2x - 1)$: $\frac{2x - 3}{2x + 1}$.
Ответ: $\frac{2x - 3}{2x + 1}$.

и) $\frac{m^2 + 4m - 5}{m^2 + 7m + 10}$
Разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе.
Числитель: $m^2 + 4m - 5$. Найдем корни уравнения $m^2 + 4m - 5 = 0$. По теореме Виета: $m_1 + m_2 = -4$, $m_1 \cdot m_2 = -5$. Корни $m_1 = -5, m_2 = 1$. Тогда $m^2 + 4m - 5 = (m - (-5))(m - 1) = (m + 5)(m - 1)$.
Знаменатель: $m^2 + 7m + 10$. Найдем корни уравнения $m^2 + 7m + 10 = 0$. По теореме Виета: $m_1 + m_2 = -7$, $m_1 \cdot m_2 = 10$. Корни $m_1 = -5, m_2 = -2$. Тогда $m^2 + 7m + 10 = (m - (-5))(m - (-2)) = (m + 5)(m + 2)$.
Получаем дробь: $\frac{(m + 5)(m - 1)}{(m + 5)(m + 2)}$.
Сокращаем на общий множитель $(m + 5)$: $\frac{m - 1}{m + 2}$.
Ответ: $\frac{m - 1}{m + 2}$.