Номер 707, страница 191 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 707, страница 191.

Условие.

707. Упростите:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x^2 + 3x} - \frac{x+1}{x^2 - 9} $, сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель.
Знаменатель первой дроби: $ x^2 - 3x = x(x - 3) $
Знаменатель второй дроби: $ x^2 + 3x = x(x + 3) $
Знаменатель третьей дроби: $ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $ (разность квадратов).
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей будет $ x(x - 3)(x + 3) $.
Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю:
$ \frac{2(x+3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{1(x-3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{x(x+1)}{x(x-3)(x+3)} $
Объединим дроби в одну:
$ \frac{2(x+3) - (x-3) - x(x+1)}{x(x-3)(x+3)} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{2x + 6 - x + 3 - x^2 - x}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-x^2 + (2x - x - x) + (6 + 3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-x^2 + 9}{x(x-3)(x+3)} $
Разложим числитель $ 9 - x^2 $ на множители как разность квадратов: $ 9 - x^2 = (3-x)(3+x) = -(x-3)(x+3) $.
Подставим это в дробь и сократим:
$ \frac{-(x-3)(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = -\frac{1}{x} $

Ответ: $ -\frac{1}{x} $

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{2y+1}{y^2+3y} + \frac{y+2}{3y-y^2} - \frac{1}{y} $. Разложим знаменатели на множители.
$ y^2 + 3y = y(y+3) $
$ 3y - y^2 = y(3-y) = -y(y-3) $
Заменим дробь $ \frac{y+2}{3y-y^2} $ на $ -\frac{y+2}{y(y-3)} $, чтобы сделать множители в знаменателях более схожими. Однако удобнее работать с множителем $ (3-y) $.
Итак, знаменатели: $ y(y+3) $, $ y(3-y) $, $ y $.
Общий знаменатель: $ y(y+3)(3-y) $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{(2y+1)(3-y)}{y(y+3)(3-y)} + \frac{(y+2)(y+3)}{y(y+3)(3-y)} - \frac{1(y+3)(3-y)}{y(y+3)(3-y)} $
Запишем все под одной чертой:
$ \frac{(2y+1)(3-y) + (y+2)(y+3) - (y+3)(3-y)}{y(y+3)(3-y)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ (2y+1)(3-y) = 6y - 2y^2 + 3 - y = -2y^2 + 5y + 3 $
$ (y+2)(y+3) = y^2 + 3y + 2y + 6 = y^2 + 5y + 6 $
$ (y+3)(3-y) = 9 - y^2 $
Подставим обратно в числитель:
$ \frac{(-2y^2 + 5y + 3) + (y^2 + 5y + 6) - (9 - y^2)}{y(y+3)(3-y)} $
Упростим числитель:
$ \frac{-2y^2 + 5y + 3 + y^2 + 5y + 6 - 9 + y^2}{y(y+3)(3-y)} = \frac{(-2y^2+y^2+y^2) + (5y+5y) + (3+6-9)}{y(y+3)(3-y)} = \frac{10y}{y(y+3)(3-y)} $
Сократим дробь на $ y $:
$ \frac{10}{(y+3)(3-y)} = \frac{10}{9-y^2} $

Ответ: $ \frac{10}{9-y^2} $

в)

Рассмотрим выражение $ \frac{a^2 + 16a + 12}{a^3 - 8} - \frac{2-3a}{a^2+2a+4} - \frac{3}{a-2} $. Разложим знаменатели на множители.
$ a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2+2a+4) $ (разность кубов).
Выражение $ a^2+2a+4 $ является неполным квадратом суммы и далее не раскладывается на действительные множители.
Общий знаменатель: $ (a-2)(a^2+2a+4) $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{a^2 + 16a + 12}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{(2-3a)(a-2)}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $
Объединим под общей чертой:
$ \frac{(a^2 + 16a + 12) - (2-3a)(a-2) - 3(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ (2-3a)(a-2) = 2a - 4 - 3a^2 + 6a = -3a^2 + 8a - 4 $
$ 3(a^2+2a+4) = 3a^2 + 6a + 12 $
Подставим и упростим числитель:
$ \frac{(a^2 + 16a + 12) - (-3a^2 + 8a - 4) - (3a^2 + 6a + 12)}{(a-2)(a^2+2a+4)} $
$ \frac{a^2 + 16a + 12 + 3a^2 - 8a + 4 - 3a^2 - 6a - 12}{(a-2)(a^2+2a+4)} $
$ \frac{(a^2+3a^2-3a^2) + (16a-8a-6a) + (12+4-12)}{(a-2)(a^2+2a+4)} = \frac{a^2+2a+4}{(a-2)(a^2+2a+4)} $
Сократим дробь на $ (a^2+2a+4) $:
$ \frac{1}{a-2} $

Ответ: $ \frac{1}{a-2} $

г)

Рассмотрим выражение $ \frac{2}{4b^2 - 6b + 9} + \frac{4b^2 + 18}{8b^3 + 27} - \frac{1}{2b+3} $. Разложим знаменатели.
$ 8b^3 + 27 = (2b)^3 + 3^3 = (2b+3)( (2b)^2 - (2b)(3) + 3^2 ) = (2b+3)(4b^2 - 6b + 9) $ (сумма кубов).
Выражение $ 4b^2-6b+9 $ является неполным квадратом разности.
Общий знаменатель: $ (2b+3)(4b^2 - 6b + 9) $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{2(2b+3)}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} + \frac{4b^2 + 18}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} - \frac{1(4b^2 - 6b + 9)}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} $
Объединим дроби:
$ \frac{2(2b+3) + (4b^2 + 18) - (4b^2 - 6b + 9)}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} $
Раскроем скобки и упростим числитель:
$ \frac{4b + 6 + 4b^2 + 18 - 4b^2 + 6b - 9}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} $
$ \frac{(4b^2-4b^2) + (4b+6b) + (6+18-9)}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} = \frac{10b + 15}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} $
Вынесем общий множитель 5 в числителе: $ 10b + 15 = 5(2b+3) $.
Подставим и сократим дробь:
$ \frac{5(2b+3)}{(2b+3)(4b^2 - 6b + 9)} = \frac{5}{4b^2 - 6b + 9} $

Ответ: $ \frac{5}{4b^2 - 6b + 9} $