Номер 714, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 714, страница 193.

Условие.

714. Упростите выражение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $(4x^{-2}y^3)^2 \cdot (0.5x^2y^{-1})^3$

Чтобы упростить выражение, сначала возведем каждый множитель в соответствующую степень, используя правила $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(4x^{-2}y^3)^2 = 4^2 \cdot (x^{-2})^2 \cdot (y^3)^2 = 16x^{-4}y^6$

$(0.5x^2y^{-1})^3 = (0.5)^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^{-1})^3 = 0.125x^6y^{-3}$

Теперь перемножим полученные выражения, группируя коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$(16x^{-4}y^6) \cdot (0.125x^6y^{-3}) = (16 \cdot 0.125) \cdot (x^{-4}x^6) \cdot (y^6y^{-3})$

Используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, завершим упрощение:

$2 \cdot x^{-4+6} \cdot y^{6+(-3)} = 2x^2y^3$

Ответ: $2x^2y^3$

б) $(\frac{c^4}{6x^2y^{-5}})^{-2} \cdot (\frac{1}{3}c^2x^3y^{-2})^4$

Для первого множителя применим свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Для второго — свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$.

$(\frac{c^4}{6x^2y^{-5}})^{-2} = (\frac{6x^2y^{-5}}{c^4})^2 = \frac{6^2(x^2)^2(y^{-5})^2}{(c^4)^2} = \frac{36x^4y^{-10}}{c^8}$

$(\frac{1}{3}c^2x^3y^{-2})^4 = (\frac{1}{3})^4(c^2)^4(x^3)^4(y^{-2})^4 = \frac{1}{81}c^8x^{12}y^{-8}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{36x^4y^{-10}}{c^8} \cdot \frac{1}{81}c^8x^{12}y^{-8} = \frac{36}{81} \cdot \frac{c^8}{c^8} \cdot (x^4x^{12}) \cdot (y^{-10}y^{-8})$

Сократим дробь $\frac{36}{81}$ на 9 и сложим показатели степеней:

$\frac{4}{9} \cdot 1 \cdot x^{4+12} \cdot y^{-10-8} = \frac{4}{9}x^{16}y^{-18}$

Ответ: $\frac{4}{9}x^{16}y^{-18}$

в) $(0.25a^{-3}b^4)^{-2} \cdot (2a^5b^{-6})^{-1}$

Представим $0.25$ как $\frac{1}{4}$ и применим свойства степеней:

$(0.25a^{-3}b^4)^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2}(a^{-3})^{-2}(b^4)^{-2} = 4^2 a^{6} b^{-8} = 16a^6b^{-8}$

$(2a^5b^{-6})^{-1} = 2^{-1}(a^5)^{-1}(b^{-6})^{-1} = \frac{1}{2}a^{-5}b^6$

Перемножим результаты:

$(16a^6b^{-8}) \cdot (\frac{1}{2}a^{-5}b^6) = (16 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (a^6a^{-5}) \cdot (b^{-8}b^6)$

Упростим, выполнив умножение коэффициентов и сложение показателей степеней:

$8 \cdot a^{6-5} \cdot b^{-8+6} = 8a^1b^{-2} = 8ab^{-2}$

Ответ: $8ab^{-2}$

г) $(\frac{0.1a^{-2}}{b^{-1}c^3})^5 \cdot (\frac{b^5}{10a^4c^6})^{-3}$

Применим свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ ко второму множителю. Заметим, что $0.1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.

$(\frac{10^{-1}a^{-2}}{b^{-1}c^3})^5 \cdot (\frac{10a^4c^6}{b^5})^3$

Возведем каждую дробь в соответствующую степень:

$\frac{(10^{-1})^5(a^{-2})^5}{(b^{-1})^5(c^3)^5} \cdot \frac{10^3(a^4)^3(c^6)^3}{(b^5)^3} = \frac{10^{-5}a^{-10}}{b^{-5}c^{15}} \cdot \frac{10^3a^{12}c^{18}}{b^{15}}$

Перемножим дроби, сгруппировав подобные члены:

$\frac{(10^{-5} \cdot 10^3) \cdot (a^{-10}a^{12}) \cdot c^{18}}{(b^{-5}b^{15}) \cdot c^{15}} = \frac{10^{-2} \cdot a^{-10+12} \cdot c^{18}}{b^{-5+15} \cdot c^{15}} = \frac{10^{-2}a^2c^{18}}{b^{10}c^{15}}$

Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для переменной $c$:

$\frac{10^{-2}a^2c^{18-15}}{b^{10}} = \frac{10^{-2}a^2c^3}{b^{10}} = \frac{a^2c^3}{100b^{10}}$

Ответ: $\frac{a^2c^3}{100b^{10}}$