Номер 716, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 716, страница 193.

Условие.

716. Вынесите множитель из-под знака корня:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{98}$, нужно разложить подкоренное число 98 на множители так, чтобы один из них был точным квадратом. Разложим 98 на множители: $98 = 49 \times 2$. Число 49 является квадратом числа 7 ($49 = 7^2$).
Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$), получаем:
$\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.
Ответ: $7\sqrt{2}$.

б) Разложим число 24 на множители, выделив наибольший возможный точный квадрат. $24 = 4 \times 6$. Число 4 является квадратом числа 2 ($4 = 2^2$).
Следовательно, $\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6}$.
Применяем свойство корня из произведения:
$\sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Ответ: $2\sqrt{6}$.

в) Сначала упростим выражение под корнем $\sqrt{242}$. Разложим 242 на множители: $242 = 121 \times 2$. Число 121 — это квадрат числа 11 ($121 = 11^2$).
Таким образом, $\sqrt{242} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{121} \times \sqrt{2} = 11\sqrt{2}$.
Теперь вернем знак минуса перед выражением:
$-\sqrt{242} = -11\sqrt{2}$.
Ответ: $-11\sqrt{2}$.

г) Рассмотрим корень $\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители, выделив наибольший точный квадрат: $75 = 25 \times 3$. Число 25 является квадратом числа 5 ($25 = 5^2$).
Следовательно, $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Не забываем про знак минус:
$-\sqrt{75} = -5\sqrt{3}$.
Ответ: $-5\sqrt{3}$.

д) Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{128}$. Разложим 128 на множители: $128 = 64 \times 2$. Число 64 является квадратом числа 8 ($64 = 8^2$).
Тогда $\sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
Теперь умножим полученное выражение на коэффициент 0,1:
$0,1 \times 8\sqrt{2} = 0,8\sqrt{2}$.
Ответ: $0,8\sqrt{2}$.

е) Упростим $\sqrt{40}$. Разложим 40 на множители, выделив точный квадрат: $40 = 4 \times 10$. Число 4 является квадратом числа 2 ($4=2^2$).
$\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = \sqrt{4} \times \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$.
Умножим на коэффициент 0,4:
$0,4 \times 2\sqrt{10} = 0,8\sqrt{10}$.
Ответ: $0,8\sqrt{10}$.

ж) Представим подкоренное выражение $\sqrt{12x^2}$ в виде произведения множителей: $\sqrt{12 \times x^2} = \sqrt{12} \times \sqrt{x^2}$.
Упростим каждый множитель. Для числового множителя: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$.
Для буквенного множителя, по определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Так как по условию $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Объединяем результаты: $2\sqrt{3} \times x = 2x\sqrt{3}$.
Ответ: $2x\sqrt{3}$.

з) Представим подкоренное выражение $\sqrt{18y^2}$ в виде произведения: $\sqrt{18 \times y^2} = \sqrt{18} \times \sqrt{y^2}$.
Упростим каждый множитель. Для числового: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$.
Для буквенного: $\sqrt{y^2} = |y|$. По условию $y < 0$, поэтому модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу: $|y| = -y$.
Объединяем результаты: $3\sqrt{2} \times (-y) = -3y\sqrt{2}$.
Ответ: $-3y\sqrt{2}$.

и) Представим подкоренное выражение $\sqrt{5a^4}$ в виде произведения: $\sqrt{5 \times a^4} = \sqrt{5} \times \sqrt{a^4}$.
Множитель $\sqrt{5}$ упростить нельзя.
Упростим $\sqrt{a^4}$. Так как $a^4 = (a^2)^2$, то $\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$.
Квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$), поэтому $|a^2| = a^2$.
Объединяем результаты: $\sqrt{5} \times a^2 = a^2\sqrt{5}$.
Ответ: $a^2\sqrt{5}$.