Номер 719, страница 193 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

719. Сократите дробь:

а) Исходная дробь: $\frac{5 + \sqrt{y}}{5\sqrt{y} + y}$.
Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители. Представим $y$ как $(\sqrt{y})^2$ и вынесем общий множитель $\sqrt{y}$ за скобки: $5\sqrt{y} + y = 5\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = \sqrt{y}(5 + \sqrt{y})$.
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби: $\frac{5 + \sqrt{y}}{\sqrt{y}(5 + \sqrt{y})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(5 + \sqrt{y})$, при условии, что $y>0$ (чтобы знаменатель не был равен нулю): $\frac{1}{\sqrt{y}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{y}}$

б) Исходная дробь: $\frac{3x - 6}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$.
Разложим числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель 3: $3x - 6 = 3(x - 2)$.
Затем применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках, представив $x = (\sqrt{x})^2$ и $2 = (\sqrt{2})^2$: $x - 2 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{3(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{2})$: $3(\sqrt{x} - \sqrt{2})$.
Ответ: $3(\sqrt{x} - \sqrt{2})$

в) Исходная дробь: $\frac{a\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} + 1}$.
Преобразуем числитель, представив его как разность кубов. Заметим, что $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ и $1 = 1^3$: $a\sqrt{a} - 1 = (\sqrt{a})^3 - 1^3$.
Используем формулу разности кубов $u^3 - v^3 = (u-v)(u^2 + uv + v^2)$, где $u = \sqrt{a}$ и $v = 1$: $(\sqrt{a} - 1)((\sqrt{a})^2 + \sqrt{a} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)$.
Подставим разложенный числитель в дробь: $\frac{(\sqrt{a} - 1)(a + \sqrt{a} + 1)}{a + \sqrt{a} + 1}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a + \sqrt{a} + 1)$: $\sqrt{a} - 1$.
Ответ: $\sqrt{a} - 1$

г) Исходная дробь: $\frac{b - \sqrt{b} + 1}{b\sqrt{b} + 1}$.
Преобразуем знаменатель, представив его как сумму кубов. Заметим, что $b\sqrt{b} = (\sqrt{b})^3$ и $1 = 1^3$: $b\sqrt{b} + 1 = (\sqrt{b})^3 + 1^3$.
Используем формулу суммы кубов $u^3 + v^3 = (u+v)(u^2 - uv + v^2)$, где $u = \sqrt{b}$ и $v = 1$: $(\sqrt{b} + 1)((\sqrt{b})^2 - \sqrt{b} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{b} + 1)(b - \sqrt{b} + 1)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь: $\frac{b - \sqrt{b} + 1}{(\sqrt{b} + 1)(b - \sqrt{b} + 1)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(b - \sqrt{b} + 1)$: $\frac{1}{\sqrt{b} + 1}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{b} + 1}$

д) Исходная дробь: $\frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{\sqrt{xy} + y}$.
Разложим на множители числитель, представив его как сумму кубов $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$ и $y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$: $(\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$.
Разложим на множители знаменатель, вынеся общий множитель $\sqrt{y}$: $\sqrt{xy} + y = \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = \sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$: $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}}$.
Ответ: $\frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{y}}$

е) Исходная дробь: $\frac{c - \sqrt{cd}}{c\sqrt{c} - d\sqrt{d}}$.
Разложим на множители числитель, вынеся за скобки $\sqrt{c}$: $c - \sqrt{cd} = (\sqrt{c})^2 - \sqrt{c}\sqrt{d} = \sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d})$.
Разложим на множители знаменатель, представив его как разность кубов $c\sqrt{c} = (\sqrt{c})^3$ и $d\sqrt{d} = (\sqrt{d})^3$: $(\sqrt{c})^3 - (\sqrt{d})^3 = (\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{\sqrt{c}(\sqrt{c} - \sqrt{d})}{(\sqrt{c} - \sqrt{d})(c + \sqrt{cd} + d)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{c} - \sqrt{d})$, при условии, что $c \neq d$: $\frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{c}}{c + \sqrt{cd} + d}$