Номер 724, страница 194 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 724, страница 194.

Условие.

724. Расстояние от города A до города B поезд должен проходить по расписанию за 4 ч 30 мин. По техническим причинам он был задержан с отправлением из города A на 30 мин. Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд прибыл в город B вовремя. Найдите расстояние между городами A и B.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ — искомое расстояние между городами А и В (в км), а $v$ — первоначальная (плановая) скорость поезда (в км/ч).

Сначала переведем все единицы времени в часы для удобства расчетов:
Плановое время в пути, $t_{план}$, составляет 4 ч 30 мин, что равно $4.5$ часам.
Время задержки отправления составляет 30 мин, что равно $0.5$ часа.

Поскольку поезд был задержан с отправлением на $0.5$ часа, но прибыл в город В вовремя (согласно расписанию), то фактическое время, которое он провел в пути, было меньше планового на время задержки:
$t_{факт} = t_{план} - 0.5 \text{ ч} = 4.5 \text{ ч} - 0.5 \text{ ч} = 4$ часа.

Чтобы наверстать опоздание, поезд увеличил свою плановую скорость $v$ на 10 км/ч. Таким образом, его фактическая скорость составила $v_{факт} = v + 10$ км/ч.

Расстояние $S$ является неизменной величиной. Мы можем составить систему уравнений, используя формулу расстояния $S = \text{скорость} \times \text{время}$:
1. По плану: $S = v \cdot t_{план} \Rightarrow S = 4.5v$
2. Фактически: $S = v_{факт} \cdot t_{факт} \Rightarrow S = (v + 10) \cdot 4$

Поскольку левые части уравнений равны (это одно и то же расстояние $S$), мы можем приравнять их правые части:
$4.5v = 4(v + 10)$

Теперь решим это уравнение относительно $v$:
$4.5v = 4v + 40$
$4.5v - 4v = 40$
$0.5v = 40$
$v = \frac{40}{0.5} = 80$
Таким образом, плановая скорость поезда была $80$ км/ч.

Зная плановую скорость, найдем расстояние $S$, подставив значение $v$ в первое уравнение:
$S = 4.5 \cdot v = 4.5 \cdot 80 = 360$ км.
Для проверки можно подставить $v$ во второе уравнение: $S = 4 \cdot (80 + 10) = 4 \cdot 90 = 360$ км. Результаты совпадают.

Ответ: расстояние между городами А и В равно 360 км.