Номер 731, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 731, страница 195.

Условие.

731. При каких значениях k уравнение не имеет корней:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо рассмотреть два основных случая: когда уравнение является квадратным и когда оно вырождается в линейное. Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).

а) $kx^2 + 8x - 15 = 0$

Рассмотрим два случая для параметра $k$.

1. Если $k = 0$, уравнение становится линейным: $8x - 15 = 0$. Оно имеет один корень $x = \frac{15}{8}$. Этот случай нам не подходит, так как требуется, чтобы корней не было совсем.

2. Если $k \neq 0$, уравнение является квадратным. Его коэффициенты: $a=k$, $b=8$, $c=-15$. Уравнение не будет иметь корней, если его дискриминант отрицателен.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot k \cdot (-15) = 64 + 60k$.

Решим неравенство $D < 0$:

$64 + 60k < 0$

$60k < -64$

$k < -\frac{64}{60}$

$k < -\frac{16}{15}$

Таким образом, уравнение не имеет корней при $k < -16/15$.

Ответ: $k < -16/15$.

б) $6x^2 - 3x + k = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 6 (не равен нулю). Коэффициенты: $a=6$, $b=-3$, $c=k$.

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 6 \cdot k = 9 - 24k$.

Решим неравенство $D < 0$:

$9 - 24k < 0$

$9 < 24k$

$k > \frac{9}{24}$

$k > \frac{3}{8}$

Ответ: $k > 3/8$.

в) $5x^2 + kx + 1 = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 5 (не равен нулю). Коэффициенты: $a=5$, $b=k$, $c=1$.

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.

$D = b^2 - 4ac = k^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = k^2 - 20$.

Решим неравенство $D < 0$:

$k^2 - 20 < 0$

$k^2 < 20$

Это неравенство выполняется для значений $k$, находящихся в интервале $(-\sqrt{20}; \sqrt{20})$. Упростим $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Следовательно, $-2\sqrt{5} < k < 2\sqrt{5}$.

Ответ: $-2\sqrt{5} < k < 2\sqrt{5}$.

г) $7x^2 - kx - 1 = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 7 (не равен нулю). Коэффициенты: $a=7$, $b=-k$, $c=-1$.

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант $D < 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-k)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = k^2 + 28$.

Решим неравенство $D < 0$:

$k^2 + 28 < 0$

$k^2 < -28$

Квадрат любого действительного числа ($k^2$) всегда неотрицателен, то есть $k^2 \ge 0$. Неравенство $k^2 < -28$ не может быть выполнено ни при каких действительных значениях $k$.

Дискриминант $D = k^2 + 28$ всегда будет положительным ($D \ge 28$), поэтому уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: таких значений $k$ не существует.