Номер 738, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

738. Две бригады, работая вместе, выполняют работу за 6 ч. Одной первой бригаде на ту же работу требуется на 5 ч больше, чем второй. За какое время может выполнить всю работу каждая бригада, работая отдельно?

Пусть $t$ часов — это время, за которое вторая бригада может выполнить всю работу, работая в одиночку. Тогда, согласно условию, первой бригаде на выполнение той же работы потребуется $(t+5)$ часов.

Примем объем всей работы за 1. Производительность (скорость выполнения работы) второй бригады составит $\frac{1}{t}$ работы в час, а производительность первой бригады — $\frac{1}{t+5}$ работы в час.

Когда бригады работают вместе, их производительности складываются. По условию, вместе они выполняют работу за 6 часов, значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ работы в час. Составим уравнение:$\frac{1}{t+5} + \frac{1}{t} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{t + (t+5)}{t(t+5)} = \frac{1}{6}$$\frac{2t+5}{t^2+5t} = \frac{1}{6}$

Применив свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:$6(2t+5) = t^2+5t$$12t + 30 = t^2+5t$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$t^2 + 5t - 12t - 30 = 0$$t^2 - 7t - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$Корни уравнения:$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{7 \pm 13}{2}$$t_1 = \frac{7+13}{2} = 10$$t_2 = \frac{7-13}{2} = -3$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, время выполнения работы второй бригадой составляет 10 часов.

Время выполнения работы первой бригадой равно $t+5 = 10+5=15$ часов.

Ответ: первая бригада может выполнить работу за 15 часов, вторая — за 10 часов.