Номер 735, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

735. Цифра десятков двузначного числа на 3 меньше цифры единиц, а произведение этого двузначного числа на сумму его цифр равно 70. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. По определению двузначного числа, $x$ и $y$ являются целыми числами, причем $1 \le x \le 9$ и $0 \le y \le 9$.

Из условия задачи известно, что цифра десятков на 3 меньше цифры единиц. Это можно записать в виде уравнения:
$x = y - 3$

Также известно, что произведение этого двузначного числа $(10x + y)$ на сумму его цифр $(x + y)$ равно 70. Составим второе уравнение:
$(10x + y)(x + y) = 70$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x = y - 3 \\ (10x + y)(x + y) = 70 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$(10(y - 3) + y)((y - 3) + y) = 70$

Теперь упростим полученное уравнение. Сначала выполним действия в скобках:
$(10y - 30 + y)(2y - 3) = 70$
$(11y - 30)(2y - 3) = 70$

Раскроем скобки, перемножив многочлены, и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$:
$11y \cdot 2y - 11y \cdot 3 - 30 \cdot 2y + 30 \cdot 3 = 70$
$22y^2 - 33y - 60y + 90 = 70$
$22y^2 - 93y + 90 - 70 = 0$
$22y^2 - 93y + 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-93)^2 - 4 \cdot 22 \cdot 20 = 8649 - 1760 = 6889$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{6889} = 83$.

Теперь найдем возможные значения для $y$:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{93 + 83}{2 \cdot 22} = \frac{176}{44} = 4$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{93 - 83}{2 \cdot 22} = \frac{10}{44} = \frac{5}{22}$

Поскольку $y$ — это цифра, она должна быть целым числом. Значение $y_2 = \frac{5}{22}$ не является целым, поэтому оно не удовлетворяет условию. Единственным подходящим решением является $y = 4$.

Зная $y$, найдем $x$ из первого уравнения:
$x = y - 3 = 4 - 3 = 1$

Таким образом, цифра десятков $x = 1$, а цифра единиц $y = 4$. Искомое число — 14.

Выполним проверку:
1. Цифра десятков (1) действительно на 3 меньше цифры единиц (4), так как $1 = 4 - 3$.
2. Сумма цифр числа 14 равна $1 + 4 = 5$. Произведение числа на сумму его цифр равно $14 \cdot 5 = 70$.
Оба условия выполнены.

Ответ: 14.