Номер 730, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 730, страница 195.

Условие.

730. При каких значениях m уравнение имеет хотя бы один корень:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы его тип и дискриминант (для квадратных уравнений) удовлетворяли определенным условиям.

а) $10x^2 - 10x + m = 0$

Данное уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 10 и не равен нулю. Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень (один или два), если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=10$, $b=-10$, $c=m$.

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 10 \cdot m = 100 - 40m$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$100 - 40m \ge 0$

$100 \ge 40m$

$m \le \frac{100}{40}$

$m \le 2.5$

Ответ: при $m \le 2.5$

б) $mx^2 + 4x - 2 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $m$. Необходимо рассмотреть два случая.

1. Случай, когда $m = 0$. Уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 4x - 2 = 0$

$4x - 2 = 0$

$4x = 2$

$x = 0.5$

В этом случае уравнение имеет один корень, что удовлетворяет условию. Значит, $m = 0$ является частью решения.

2. Случай, когда $m \ne 0$. Уравнение является квадратным. Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=m$, $b=4$, $c=-2$.

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot m \cdot (-2) = 16 + 8m$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$16 + 8m \ge 0$

$8m \ge -16$

$m \ge -2$

Это решение для случая $m \ne 0$.

Объединяя результаты обоих случаев (решение $m = 0$ из пункта 1 и решение $m \ge -2$ при $m \ne 0$ из пункта 2), получаем, что уравнение имеет хотя бы один корень при всех $m$, удовлетворяющих условию $m \ge -2$.

Ответ: при $m \ge -2$

в) $3x^2 + mx - 5 = 0$

Данное уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ равен 3). Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=3$, $b=m$, $c=-5$.

$D = b^2 - 4ac = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = m^2 + 60$

Рассмотрим выражение для дискриминанта. Поскольку $m^2 \ge 0$ для любого действительного значения $m$, то $m^2 + 60$ всегда будет положительным ($m^2 + 60 \ge 60 > 0$).

Так как $D > 0$ при любом значении $m$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Ответ: при любом значении $m$ (или $m \in (-\infty; +\infty)$)

г) $2x^2 - mx + 2 = 0$

Данное уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ равен 2). Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-m$, $c=2$.

$D = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = m^2 - 16$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$m^2 - 16 \ge 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(m - 4)(m + 4) \ge 0$.

Это квадратное неравенство относительно $m$. Корнями уравнения $(m - 4)(m + 4) = 0$ являются $m_1 = -4$ и $m_2 = 4$. Графиком функции $y = m^2 - 16$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $m \le -4$ или $m \ge 4$.

Ответ: при $m \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$