Номер 730, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 730, страница 195.
№730 (с. 195)
Условие. №730 (с. 195)
скриншот условия

730. При каких значениях m уравнение имеет хотя бы один корень:

Решение 1. №730 (с. 195)


Решение 2. №730 (с. 195)




Решение 3. №730 (с. 195)

Решение 4. №730 (с. 195)

Решение 5. №730 (с. 195)

Решение 7. №730 (с. 195)

Решение 8. №730 (с. 195)
Для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы его тип и дискриминант (для квадратных уравнений) удовлетворяли определенным условиям.
а) $10x^2 - 10x + m = 0$
Данное уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 10 и не равен нулю. Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень (один или два), если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=10$, $b=-10$, $c=m$.
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 10 \cdot m = 100 - 40m$
Решим неравенство $D \ge 0$:
$100 - 40m \ge 0$
$100 \ge 40m$
$m \le \frac{100}{40}$
$m \le 2.5$
Ответ: при $m \le 2.5$
б) $mx^2 + 4x - 2 = 0$
В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $m$. Необходимо рассмотреть два случая.
1. Случай, когда $m = 0$. Уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:
$0 \cdot x^2 + 4x - 2 = 0$
$4x - 2 = 0$
$4x = 2$
$x = 0.5$
В этом случае уравнение имеет один корень, что удовлетворяет условию. Значит, $m = 0$ является частью решения.
2. Случай, когда $m \ne 0$. Уравнение является квадратным. Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.
Коэффициенты: $a=m$, $b=4$, $c=-2$.
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot m \cdot (-2) = 16 + 8m$
Решим неравенство $D \ge 0$:
$16 + 8m \ge 0$
$8m \ge -16$
$m \ge -2$
Это решение для случая $m \ne 0$.
Объединяя результаты обоих случаев (решение $m = 0$ из пункта 1 и решение $m \ge -2$ при $m \ne 0$ из пункта 2), получаем, что уравнение имеет хотя бы один корень при всех $m$, удовлетворяющих условию $m \ge -2$.
Ответ: при $m \ge -2$
в) $3x^2 + mx - 5 = 0$
Данное уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ равен 3). Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=m$, $c=-5$.
$D = b^2 - 4ac = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = m^2 + 60$
Рассмотрим выражение для дискриминанта. Поскольку $m^2 \ge 0$ для любого действительного значения $m$, то $m^2 + 60$ всегда будет положительным ($m^2 + 60 \ge 60 > 0$).
Так как $D > 0$ при любом значении $m$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.
Ответ: при любом значении $m$ (или $m \in (-\infty; +\infty)$)
г) $2x^2 - mx + 2 = 0$
Данное уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ равен 2). Оно имеет хотя бы один корень, если его дискриминант $D \ge 0$.
Коэффициенты: $a=2$, $b=-m$, $c=2$.
$D = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = m^2 - 16$
Решим неравенство $D \ge 0$:
$m^2 - 16 \ge 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(m - 4)(m + 4) \ge 0$.
Это квадратное неравенство относительно $m$. Корнями уравнения $(m - 4)(m + 4) = 0$ являются $m_1 = -4$ и $m_2 = 4$. Графиком функции $y = m^2 - 16$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $m \le -4$ или $m \ge 4$.
Ответ: при $m \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 730 расположенного на странице 195 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №730 (с. 195), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.