Номер 691, страница 189 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 691, страница 189.

Условие.

691. Найдите значение выражения:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы найти значение выражения $3x^2 - 6x - 5$ при $x = 1 + \sqrt{2}$, удобно сначала преобразовать само выражение и условие.
В выражении $3x^2 - 6x - 5$ вынесем общий множитель 3 за скобки у первых двух слагаемых:
$3x^2 - 6x - 5 = 3(x^2 - 2x) - 5$.
Теперь преобразуем данное значение $x$. Из условия $x = 1 + \sqrt{2}$ следует, что:
$x - 1 = \sqrt{2}$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(x - 1)^2 = (\sqrt{2})^2$
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = 2$
$x^2 - 2x + 1 = 2$
Отсюда можно выразить комбинацию $x^2 - 2x$:
$x^2 - 2x = 2 - 1 = 1$.
Теперь подставим полученное значение ($x^2 - 2x = 1$) в преобразованное исходное выражение:
$3(x^2 - 2x) - 5 = 3 \cdot 1 - 5 = 3 - 5 = -2$.
Ответ: -2.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{x^2 - x - 5}{x - 1}$ при $x = \sqrt{5} + 1$, также сначала упростим выражение.
Преобразуем числитель дроби $x^2 - x - 5$, выделив в нем выражение, равное знаменателю $(x - 1)$. Для этого сгруппируем первые два члена и вынесем $x$ за скобку:
$x^2 - x - 5 = (x^2 - x) - 5 = x(x - 1) - 5$.
Теперь подставим это в исходную дробь:
$\frac{x(x - 1) - 5}{x - 1}$.
Разделим выражение почленно на знаменатель:
$\frac{x(x - 1)}{x - 1} - \frac{5}{x - 1} = x - \frac{5}{x - 1}$.
Теперь подставим в это упрощенное выражение значение $x = \sqrt{5} + 1$.
Найдем значение знаменателя $x - 1$:
$x - 1 = (\sqrt{5} + 1) - 1 = \sqrt{5}$.
Подставим все значения в выражение $x - \frac{5}{x - 1}$:
$(\sqrt{5} + 1) - \frac{5}{\sqrt{5}}$.
Упростим дробь $\frac{5}{\sqrt{5}}$, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$ (избавление от иррациональности в знаменателе):
$\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$.
Произведем финальный расчет:
$(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} = 1$.
Ответ: 1.