Номер 674, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

674. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия. Докажите, что:

а) если b₁ › 0 и q › 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего;

б) если b₁ › 0 и 0 ‹ q ‹ 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;

в) если b₁ ‹ 0 и q › 1, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего;

г) если b₁ ‹ 0 и 0 ‹ q ‹ 1, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего.

Для каждого из рассмотренных случаев приведите пример.

а) Докажем, что если первый член геометрической прогрессии $b_1 > 0$ и ее знаменатель $q > 1$, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего ($b_{n+1} > b_n$).

Для доказательства сравним два соседних члена прогрессии $b_{n+1}$ и $b_n$. Связь между ними выражается формулой $b_{n+1} = b_n \cdot q$. Рассмотрим их разность:

$b_{n+1} - b_n = b_n \cdot q - b_n = b_n(q-1)$

Теперь определим знак этой разности, исходя из условий задачи.

1. Знак $b_n$. По условию $b_1 > 0$. Знаменатель $q > 1$, значит, он положителен. Каждый член прогрессии $b_n$ получается умножением предыдущего на $q$. Так как $b_1 > 0$ и $q > 0$, все члены прогрессии будут положительны: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1} > 0$ для любого натурального $n$.

2. Знак $(q-1)$. По условию $q > 1$, следовательно, разность $q-1$ будет положительна: $q-1 > 0$.

Таким образом, разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$ является произведением двух положительных множителей ($b_n$ и $q-1$), а значит, сама разность положительна. $b_{n+1} - b_n > 0$, что равносильно $b_{n+1} > b_n$. Утверждение доказано.

Пример: Рассмотрим прогрессию, где $b_1 = 2$ и $q = 3$. Условия $b_1 > 0$ и $q > 1$ соблюдаются. Последовательность: 2, 6, 18, 54, ... . Каждый следующий член (6, 18, 54) больше предыдущего (2, 6, 18).

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что если $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего ($b_{n+1} < b_n$).

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.

1. Знак $b_n$. По условию $b_1 > 0$ и $q > 0$. Следовательно, все члены прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ будут положительны: $b_n > 0$.

2. Знак $(q-1)$. По условию $0 < q < 1$, следовательно, разность $q-1$ будет отрицательна: $q-1 < 0$.

Разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$ является произведением положительного числа ($b_n$) и отрицательного числа ($q-1$). Результат такого произведения отрицателен. $b_{n+1} - b_n < 0$, что равносильно $b_{n+1} < b_n$. Утверждение доказано.

Пример: Рассмотрим прогрессию, где $b_1 = 32$ и $q = 1/2$. Условия $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$ соблюдаются. Последовательность: 32, 16, 8, 4, ... . Каждый следующий член меньше предыдущего.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Докажем, что если $b_1 < 0$ и $q > 1$, то каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего ($b_{n+1} < b_n$).

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.

1. Знак $b_n$. По условию $b_1 < 0$. Так как $q > 1$, то $q$ положителен. Следовательно, все члены прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ будут иметь тот же знак, что и $b_1$, то есть будут отрицательны: $b_n < 0$.

2. Знак $(q-1)$. По условию $q > 1$, следовательно, разность $q-1$ будет положительна: $q-1 > 0$.

Разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$ является произведением отрицательного числа ($b_n$) и положительного числа ($q-1$). Результат такого произведения отрицателен. $b_{n+1} - b_n < 0$, что равносильно $b_{n+1} < b_n$. Утверждение доказано.

Пример: Рассмотрим прогрессию, где $b_1 = -1$ и $q = 5$. Условия $b_1 < 0$ и $q > 1$ соблюдаются. Последовательность: -1, -5, -25, -125, ... . Каждый следующий член меньше предыдущего (например, $-5 < -1$).

Ответ: Утверждение доказано.

г) Докажем, что если $b_1 < 0$ и $0 < q < 1$, то каждый следующий член прогрессии больше предыдущего ($b_{n+1} > b_n$).

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$.

1. Знак $b_n$. По условию $b_1 < 0$. Так как $0 < q < 1$, то $q$ положителен. Следовательно, все члены прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ будут отрицательны: $b_n < 0$.

2. Знак $(q-1)$. По условию $0 < q < 1$, следовательно, разность $q-1$ будет отрицательна: $q-1 < 0$.

Разность $b_{n+1} - b_n = b_n(q-1)$ является произведением двух отрицательных чисел ($b_n$ и $q-1$). Результат такого произведения положителен. $b_{n+1} - b_n > 0$, что равносильно $b_{n+1} > b_n$. Утверждение доказано.

Пример: Рассмотрим прогрессию, где $b_1 = -81$ и $q = 1/3$. Условия $b_1 < 0$ и $0 < q < 1$ соблюдаются. Последовательность: -81, -27, -9, -3, ... . Каждый следующий член больше предыдущего (например, $-27 > -81$).

Ответ: Утверждение доказано.