Номер 667, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

667. Является ли последовательность (xₙ) арифметической прогрессией, если сумма первых n её членов может быть найдена по формуле:

Чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между её соседними членами постоянной величиной. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$. То есть, для всех натуральных $n$ должно выполняться равенство $x_{n+1} - x_n = d$.

Зная формулу для суммы первых $n$ членов $S_n$, мы можем найти любой член последовательности. Первый член $x_1$ равен $S_1$. Для $n \ge 2$ n-й член последовательности можно найти по формуле $x_n = S_n - S_{n-1}$.

Воспользуемся этим методом для каждого случая.

а) $S_n = -n^2 + 3n$

Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = -(1)^2 + 3(1) = -1 + 3 = 2$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = -(2)^2 + 3(2) = -4 + 6 = 2$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 2 - 2 = 0$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = -(3)^2 + 3(3) = -9 + 9 = 0$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 0 - 2 = -2$.

Последовательность начинается с членов $2, 0, -2, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 0 - 2 = -2$.
$d_2 = x_3 - x_2 = -2 - 0 = -2$.

Можно также найти общую формулу для $n$-го члена. Для $n \ge 2$:
$x_n = S_n - S_{n-1} = (-n^2 + 3n) - (-(n-1)^2 + 3(n-1))$
$x_n = (-n^2 + 3n) - (-(n^2 - 2n + 1) + 3n - 3)$
$x_n = (-n^2 + 3n) - (-n^2 + 2n - 1 + 3n - 3)$
$x_n = (-n^2 + 3n) - (-n^2 + 5n - 4) = -n^2 + 3n + n^2 - 5n + 4 = 4 - 2n$.
Эта формула верна и для $n=1$, так как $x_1 = 4 - 2(1) = 2$.
Разность прогрессии: $d = x_{n+1} - x_n = (4 - 2(n+1)) - (4 - 2n) = 4 - 2n - 2 - 4 + 2n = -2$.
Разность постоянна и равна $-2$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: да.

б) $S_n = 2n^2 - 1$

Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = 2(1)^2 - 1 = 1$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = 2(2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 7$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 7 - 1 = 6$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 2(3)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 17$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 17 - 7 = 10$.

Последовательность начинается с членов $1, 6, 10, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 1 = 5$.
$d_2 = x_3 - x_2 = 10 - 6 = 4$.

Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.

в) $S_n = n^2 + 2n - 8$

Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = 2^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 0 - (-5) = 5$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 7 - 0 = 7$.

Последовательность начинается с членов $-5, 5, 7, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 5 - (-5) = 10$.
$d_2 = x_3 - x_2 = 7 - 5 = 2$.

Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.

г) $S_n = 6n + 5$

Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = 6(1) + 5 = 11$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = 6(2) + 5 = 12 + 5 = 17$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 17 - 11 = 6$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 23 - 17 = 6$.

Последовательность начинается с членов $11, 6, 6, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 11 = -5$.
$d_2 = x_3 - x_2 = 6 - 6 = 0$.

Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.