Номер 665, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 665, страница 185.

Условие.

665. Запишите формулу суммы первых n членов последовательности (aₙ), если:

а) aₙ = 2n + 1;

б) aₙ = 3 – n.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дана последовательность, где $n$-й член задается формулой $a_n = 2n + 1$.

Для того чтобы найти формулу суммы первых $n$ членов, сначала определим тип последовательности. Проверим, является ли она арифметической прогрессией, для этого найдем разность между последующим и предыдущим членами:

$d = a_{n+1} - a_n = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = (2n + 2 + 1) - (2n + 1) = 2n + 3 - 2n - 1 = 2$.

Поскольку разность $d$ является постоянной величиной, равной 2, данная последовательность — это арифметическая прогрессия.

Найдем первый член прогрессии:

$a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $a_1 = 3$ и $a_n = 2n + 1$ в формулу:

$S_n = \frac{3 + (2n + 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 4}{2} \cdot n = (n + 2) \cdot n = n^2 + 2n$.

Ответ: $S_n = n(n+2)$

б) Дана последовательность, где $n$-й член задается формулой $a_n = 3 - n$.

Аналогично пункту а), определим тип последовательности. Найдем разность между соседними членами:

$d = a_{n+1} - a_n = (3 - (n+1)) - (3 - n) = (3 - n - 1) - (3 - n) = 2 - n - 3 + n = -1$.

Разность $d$ постоянна и равна -1, следовательно, это также арифметическая прогрессия.

Найдем ее первый член:

$a_1 = 3 - 1 = 2$.

Используем ту же формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим значения $a_1 = 2$ и $a_n = 3 - n$:

$S_n = \frac{2 + (3 - n)}{2} \cdot n = \frac{5 - n}{2} \cdot n = \frac{n(5-n)}{2}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(5-n)}{2}$