Номер 670, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 670, страница 186.

Условие.

670. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Да, такие числа существуют. Проверим это с помощью математических выкладок.

Пусть у нас есть три числа: $a$, $b$ и $c$.

1. Если эти три числа составляют арифметическую прогрессию, то для них справедливо характеристическое свойство: каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседей. Для наших чисел это означает: $b = \frac{a+c}{2}$
Это равенство можно переписать в виде: $2b = a+c$

2. Если эти же три числа составляют геометрическую прогрессию, то для них справедливо характеристическое свойство: квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению его соседей. Для наших чисел это означает: $b^2 = ac$

Теперь у нас есть система из двух уравнений, описывающая условия задачи:
$ \begin{cases} 2b = a+c \\ b^2 = ac \end{cases} $

Для решения этой системы выразим $c$ из первого уравнения:
$c = 2b - a$

Теперь подставим это выражение для $c$ во второе уравнение:
$b^2 = a(2b - a)$

Раскроем скобки и перенесём все члены в одну сторону:
$b^2 = 2ab - a^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = 0$

Полученное выражение является формулой сокращенного умножения — квадратом разности:
$(a - b)^2 = 0$

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Следовательно:
$a - b = 0 \implies a = b$

Мы выяснили, что первый и второй члены последовательности равны. Теперь найдём третий член $c$, подставив $a = b$ в выражение $c = 2b - a$:
$c = 2b - b \implies c = b$

Таким образом, мы приходим к выводу, что все три числа должны быть равны между собой: $a = b = c$.

Любая последовательность из трёх одинаковых чисел (например, 7, 7, 7) является одновременно арифметической прогрессией (с разностью $d=0$) и геометрической прогрессией (со знаменателем $q=1$, если члены не равны нулю).

Ответ: Да, существуют. Это любые три равных между собой числа.