Номер 663, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 663, страница 185.

Условие.

663. Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых десяти её членов равна 100 и сумма первых тридцати её членов равна 900.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов.

По условию задачи дано, что сумма первых десяти членов равна 100, то есть $S_{10} = 100$. Подставим $n=10$ в формулу:
$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = 100$
$\frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 100$
$(2a_1 + 9d) \cdot 5 = 100$
$2a_1 + 9d = 20$

Также известно, что сумма первых тридцати членов равна 900, то есть $S_{30} = 900$. Подставим $n=30$ в формулу:
$S_{30} = \frac{2a_1 + d(30-1)}{2} \cdot 30 = 900$
$\frac{2a_1 + 29d}{2} \cdot 30 = 900$
$(2a_1 + 29d) \cdot 15 = 900$
$2a_1 + 29d = 60$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} 2a_1 + 9d = 20 \\ 2a_1 + 29d = 60 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность прогрессии $d$:
$(2a_1 + 29d) - (2a_1 + 9d) = 60 - 20$
$20d = 40$
$d = 2$
Теперь подставим найденное значение $d=2$ в первое уравнение системы, чтобы найти первый член прогрессии $a_1$:
$2a_1 + 9 \cdot 2 = 20$
$2a_1 + 18 = 20$
$2a_1 = 2$
$a_1 = 1$

Зная первый член $a_1 = 1$ и разность $d = 2$, мы можем найти сумму первых сорока членов прогрессии ($S_{40}$), подставив $n=40$ в исходную формулу:
$S_{40} = \frac{2a_1 + d(40-1)}{2} \cdot 40$
$S_{40} = \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot (39)}{2} \cdot 40$
$S_{40} = \frac{2 + 78}{2} \cdot 40$
$S_{40} = \frac{80}{2} \cdot 40$
$S_{40} = 40 \cdot 40 = 1600$

Ответ: 1600