Номер 656, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 656, страница 184.

Условие.

656. Найдите сумму:

а) всех двузначных чисел;

б) всех трёхзначных чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы найти сумму всех двузначных чисел, мы можем рассматривать их как арифметическую прогрессию. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются на 99.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 10$.

Последний член прогрессии $a_n = 99$.

Разность прогрессии $d = 1$, так как мы рассматриваем все целые числа подряд.

Сначала найдем количество двузначных чисел (количество членов прогрессии $n$). Это можно сделать по формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ или просто вычитанием: $n = 99 - 10 + 1 = 90$.

Теперь найдем сумму этих чисел, используя формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения:

$S_{90} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$

Ответ: 4905

б) Аналогично найдем сумму всех трёхзначных чисел. Они также образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии $a_1 = 100$.

Последний член прогрессии $a_n = 999$.

Разность прогрессии $d = 1$.

Найдем количество трёхзначных чисел: $n = 999 - 100 + 1 = 900$.

Теперь найдем их сумму по той же формуле суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения:

$S_{900} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$

Ответ: 494550