Номер 653, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 653, страница 184.

Условие.

653. На одной стороне угла от вершины отложены двенадцать равных отрезков, и через их концы (кроме вершины угла) проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключённых между сторонами угла, если длина наименьшего из них равна 3 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим вершину угла как $O$. На одной из его сторон отложим от вершины последовательно 12 равных отрезков. Пусть точки, разделяющие эти отрезки, будут $A_1, A_2, \ldots, A_{12}$. По условию, $OA_1 = A_1A_2 = \ldots = A_{11}A_{12}$. Обозначим длину этого равного отрезка через $x$. Тогда расстояние от вершины $O$ до точки $A_k$ (где $k$ — номер точки от 1 до 12) равно $OA_k = k \cdot x$.

Через каждую точку $A_k$ проведена прямая, параллельная остальным таким же прямым, которая пересекает вторую сторону угла в точке $B_k$. Таким образом, мы получаем 12 параллельных отрезков $A_1B_1, A_2B_2, \ldots, A_{12}B_{12}$, заключенных между сторонами угла.

Рассмотрим треугольники, образованные сторонами угла и этими параллельными отрезками: $\triangle OA_1B_1, \triangle OA_2B_2, \ldots, \triangle OA_{12}B_{12}$. Поскольку все отрезки $A_kB_k$ параллельны друг другу, эти треугольники подобны друг другу (по общему углу при вершине $O$ и соответственным углам при параллельных прямых).

Из подобия треугольников следует, что отношение длин соответствующих сторон постоянно. Сравним любой треугольник $\triangle OA_kB_k$ с наименьшим треугольником $\triangle OA_1B_1$:$$ \frac{|A_kB_k|}{|A_1B_1|} = \frac{OA_k}{OA_1} $$Мы знаем, что $OA_k = k \cdot x$ и $OA_1 = 1 \cdot x$. Подставим эти значения в пропорцию:$$ \frac{|A_kB_k|}{|A_1B_1|} = \frac{k \cdot x}{x} = k $$Отсюда мы можем выразить длину любого отрезка $A_kB_k$ через длину наименьшего отрезка $A_1B_1$:$$ |A_kB_k| = k \cdot |A_1B_1| $$

По условию задачи, длина наименьшего из отрезков равна 3 см. Наименьший отрезок — тот, что ближе всего к вершине, то есть $A_1B_1$. Итак, $|A_1B_1| = 3$ см. Теперь мы можем найти длины всех 12 отрезков:

• $|A_1B_1| = 1 \cdot 3 = 3$ см
• $|A_2B_2| = 2 \cdot 3 = 6$ см
• $|A_3B_3| = 3 \cdot 3 = 9$ см
• ...
• $|A_{12}B_{12}| = 12 \cdot 3 = 36$ см

Длины этих отрезков образуют арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 3$, последний член $a_{12} = 36$, а количество членов $n=12$. Сумму длин всех отрезков $S$ найдем по формуле суммы арифметической прогрессии:$$ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$Подставляем наши значения:$$ S_{12} = \frac{3 + 36}{2} \cdot 12 = \frac{39}{2} \cdot 12 = 39 \cdot 6 = 234 \text{ см} $$

Также, сумму можно вычислить, вынеся общий множитель за скобки:$$ S = 3 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 12) $$Сумма первых 12 натуральных чисел равна:$$ 1 + 2 + \ldots + 12 = \frac{12 \cdot (12+1)}{2} = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78 $$Тогда искомая сумма длин:$$ S = 3 \cdot 78 = 234 \text{ см} $$

Ответ: 234 см.