Страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

649. Докажите, что если d — разность арифметической прогрессии, а xₘ и xₙ — члены этой прогрессии, причём m ≠ n, то d =$\frac{x_{m-}{x}_n}{m-n}$.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(x_k)$, где $k$ - номер члена прогрессии. Пусть $x_1$ — её первый член, а $d$ — её разность.

Формула для нахождения любого члена арифметической прогрессии с номером $k$ имеет вид:
$x_k = x_1 + (k - 1)d$

Воспользуемся этой формулой для того, чтобы выразить члены прогрессии $x_m$ и $x_n$:
$x_m = x_1 + (m - 1)d$ (1)
$x_n = x_1 + (n - 1)d$ (2)

Чтобы найти связь между $x_m$, $x_n$ и $d$, вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
$x_m - x_n = (x_1 + (m - 1)d) - (x_1 + (n - 1)d)$

Раскроем скобки в правой части полученного равенства:
$x_m - x_n = x_1 + md - d - x_1 - nd + d$

Сократим подобные члены ($x_1$ и $-x_1$, а также $-d$ и $+d$):
$x_m - x_n = md - nd$

В правой части вынесем общий множитель $d$ за скобки:
$x_m - x_n = (m - n)d$

Согласно условию задачи, номера членов $m$ и $n$ не равны, то есть $m \neq n$. Это означает, что разность $m - n \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(m - n)$, чтобы выразить $d$:
$d = \frac{x_m - x_n}{m - n}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Утверждение $d = \frac{x_m - x_n}{m - n}$ доказано.

650. Дана арифметическая прогрессия (aₙ). Найдите:

а) Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ используется формула, связывающая два любых члена прогрессии: $a_n = a_k + (n-k)d$.

В данном случае нам известны $a_{20} = 1,7$ и $a_{37} = 0$. Примем $n=37$ и $k=20$. Подставим эти значения в формулу:

$a_{37} = a_{20} + (37 - 20)d$

Подставляем числовые значения:

$0 = 1,7 + (17)d$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $d$:

$17d = -1,7$

$d = \frac{-1,7}{17}$

$d = -0,1$

Ответ: -0,1

б) Для нахождения сотого члена прогрессии $a_{100}$ воспользуемся той же формулой: $a_n = a_k + (n-k)d$.

Нам известны $a_{10} = 270$ и $d = -3$. Примем $n=100$ и $k=10$. Подставим значения в формулу:

$a_{100} = a_{10} + (100 - 10)d$

Подставляем числовые значения:

$a_{100} = 270 + (90) \cdot (-3)$

Выполним вычисления:

$a_{100} = 270 - 270$

$a_{100} = 0$

Ответ: 0

651. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии:

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов. В данной задаче нам нужно найти сумму первых десяти членов, поэтому $n=10$.

а) $ \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; ... $

1. Найдем первый член и разность прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = \frac{2}{3}$.

Второй член прогрессии $a_2 = \frac{3}{4}$.

Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами:

$d = a_2 - a_1 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$d = \frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$

2. Найдем сумму первых десяти членов ($S_{10}$).

Подставим значения $a_1 = \frac{2}{3}$, $d = \frac{1}{12}$ и $n = 10$ в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{2 \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{12}(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \left( \frac{4}{3} + \frac{1}{12} \cdot 9 \right) \cdot 5$

$S_{10} = \left( \frac{4}{3} + \frac{9}{12} \right) \cdot 5$

Сократим дробь $\frac{9}{12}$ на 3, получим $\frac{3}{4}$:

$S_{10} = \left( \frac{4}{3} + \frac{3}{4} \right) \cdot 5$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 12:

$S_{10} = \left( \frac{16}{12} + \frac{9}{12} \right) \cdot 5 = \frac{25}{12} \cdot 5 = \frac{125}{12}$

Выделим целую часть:

$S_{10} = 10 \frac{5}{12}$

Ответ: $10 \frac{5}{12}$.

б) $ \sqrt{3}; \sqrt{12}; ... $

1. Упростим члены прогрессии, найдем первый член и разность.

Первый член прогрессии $a_1 = \sqrt{3}$.

Упростим второй член прогрессии: $a_2 = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

Разность прогрессии $d$ равна разности между вторым и первым членами:

$d = a_2 - a_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$

2. Найдем сумму первых десяти членов ($S_{10}$).

Подставим значения $a_1 = \sqrt{3}$, $d = \sqrt{3}$ и $n = 10$ в формулу суммы:

$S_{10} = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}(10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = (2\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 9) \cdot 5$

$S_{10} = (2\sqrt{3} + 9\sqrt{3}) \cdot 5$

$S_{10} = (11\sqrt{3}) \cdot 5$

$S_{10} = 55\sqrt{3}$

Ответ: $55\sqrt{3}$.

652. Найдите сумму, слагаемыми которой являются последовательные члены арифметической прогрессии:

а) Данная сумма $2 + 6 + 10 + \ldots + 198$ представляет собой сумму членов арифметической прогрессии. Определим её параметры. Первый член прогрессии $a_1 = 2$. Разность прогрессии $d$ можно найти как разность между вторым и первым членами: $d = 6 - 2 = 4$. Последний член прогрессии $a_n = 198$.
Для вычисления суммы необходимо найти количество членов $n$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения и решим уравнение относительно $n$:
$198 = 2 + (n-1) \cdot 4$
$198 - 2 = 4(n-1)$
$196 = 4(n-1)$
$n-1 = \frac{196}{4}$
$n-1 = 49$
$n = 50$
Теперь, зная, что в прогрессии 50 членов, мы можем найти её сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{50} = \frac{2 + 198}{2} \cdot 50 = \frac{200}{2} \cdot 50 = 100 \cdot 50 = 5000$.
Ответ: $5000$.

б) Сумма $95 + 85 + 75 + \ldots + (-155)$ также является суммой членов арифметической прогрессии. Определим её параметры. Первый член $a_1 = 95$. Разность прогрессии $d$ равна $d = 85 - 95 = -10$. Последний член $a_n = -155$.
Сначала найдем количество членов $n$ в этой прогрессии, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим известные значения:
$-155 = 95 + (n-1) \cdot (-10)$
$-155 - 95 = -10(n-1)$
$-250 = -10(n-1)$
$n-1 = \frac{-250}{-10}$
$n-1 = 25$
$n = 26$
В прогрессии 26 членов. Теперь вычислим сумму по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
$S_{26} = \frac{95 + (-155)}{2} \cdot 26 = \frac{95 - 155}{2} \cdot 26 = \frac{-60}{2} \cdot 26 = -30 \cdot 26 = -780$.
Ответ: $-780$.

653. На одной стороне угла от вершины отложены двенадцать равных отрезков, и через их концы (кроме вершины угла) проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключённых между сторонами угла, если длина наименьшего из них равна 3 см.

Обозначим вершину угла как $O$. На одной из его сторон отложим от вершины последовательно 12 равных отрезков. Пусть точки, разделяющие эти отрезки, будут $A_1, A_2, \ldots, A_{12}$. По условию, $OA_1 = A_1A_2 = \ldots = A_{11}A_{12}$. Обозначим длину этого равного отрезка через $x$. Тогда расстояние от вершины $O$ до точки $A_k$ (где $k$ — номер точки от 1 до 12) равно $OA_k = k \cdot x$.

Через каждую точку $A_k$ проведена прямая, параллельная остальным таким же прямым, которая пересекает вторую сторону угла в точке $B_k$. Таким образом, мы получаем 12 параллельных отрезков $A_1B_1, A_2B_2, \ldots, A_{12}B_{12}$, заключенных между сторонами угла.

Рассмотрим треугольники, образованные сторонами угла и этими параллельными отрезками: $\triangle OA_1B_1, \triangle OA_2B_2, \ldots, \triangle OA_{12}B_{12}$. Поскольку все отрезки $A_kB_k$ параллельны друг другу, эти треугольники подобны друг другу (по общему углу при вершине $O$ и соответственным углам при параллельных прямых).

Из подобия треугольников следует, что отношение длин соответствующих сторон постоянно. Сравним любой треугольник $\triangle OA_kB_k$ с наименьшим треугольником $\triangle OA_1B_1$:$$ \frac{|A_kB_k|}{|A_1B_1|} = \frac{OA_k}{OA_1} $$Мы знаем, что $OA_k = k \cdot x$ и $OA_1 = 1 \cdot x$. Подставим эти значения в пропорцию:$$ \frac{|A_kB_k|}{|A_1B_1|} = \frac{k \cdot x}{x} = k $$Отсюда мы можем выразить длину любого отрезка $A_kB_k$ через длину наименьшего отрезка $A_1B_1$:$$ |A_kB_k| = k \cdot |A_1B_1| $$

По условию задачи, длина наименьшего из отрезков равна 3 см. Наименьший отрезок — тот, что ближе всего к вершине, то есть $A_1B_1$. Итак, $|A_1B_1| = 3$ см. Теперь мы можем найти длины всех 12 отрезков:

• $|A_1B_1| = 1 \cdot 3 = 3$ см
• $|A_2B_2| = 2 \cdot 3 = 6$ см
• $|A_3B_3| = 3 \cdot 3 = 9$ см
• ...
• $|A_{12}B_{12}| = 12 \cdot 3 = 36$ см

Длины этих отрезков образуют арифметическую прогрессию. Первый член этой прогрессии $a_1 = 3$, последний член $a_{12} = 36$, а количество членов $n=12$. Сумму длин всех отрезков $S$ найдем по формуле суммы арифметической прогрессии:$$ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n $$Подставляем наши значения:$$ S_{12} = \frac{3 + 36}{2} \cdot 12 = \frac{39}{2} \cdot 12 = 39 \cdot 6 = 234 \text{ см} $$

Также, сумму можно вычислить, вынеся общий множитель за скобки:$$ S = 3 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + 12) $$Сумма первых 12 натуральных чисел равна:$$ 1 + 2 + \ldots + 12 = \frac{12 \cdot (12+1)}{2} = \frac{12 \cdot 13}{2} = 78 $$Тогда искомая сумма длин:$$ S = 3 \cdot 78 = 234 \text{ см} $$

Ответ: 234 см.

654. В арифметической прогрессии (aₙ):

Для решения задач воспользуемся основными формулами арифметической прогрессии:

• Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$
• Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
• Альтернативная формула суммы: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

а) Дано: $d = -0,4$, $n = 12$, $a_{12} = 2,4$. Найти $a_1$ и $S_{12}$.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$.
Воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим известные значения для $n=12$:
$a_{12} = a_1 + (12-1)d$
$2,4 = a_1 + 11 \cdot (-0,4)$
$2,4 = a_1 - 4,4$
$a_1 = 2,4 + 4,4$
$a_1 = 6,8$

2. Найдем сумму первых 12 членов прогрессии $S_{12}$.
Воспользуемся формулой суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения:
$S_{12} = \frac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{6,8 + 2,4}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{9,2}{2} \cdot 12$
$S_{12} = 4,6 \cdot 12$
$S_{12} = 55,2$

Ответ: $a_1 = 6,8$; $S_{12} = 55,2$.

б) Дано: $a_1 = -35$, $d = 5$, $S_n = 250$. Найти $n$ и $a_n$.

1. Найдем количество членов прогрессии $n$.
Воспользуемся альтернативной формулой суммы: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.
Подставим известные значения:
$250 = \frac{2 \cdot (-35) + (n-1) \cdot 5}{2} \cdot n$
$500 = (-70 + 5n - 5) \cdot n$
$500 = (5n - 75)n$
$500 = 5n^2 - 75n$
$5n^2 - 75n - 500 = 0$
Разделим обе части уравнения на 5:
$n^2 - 15n - 100 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625$.
$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{15 \pm 25}{2}$.
$n_1 = \frac{15 + 25}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$n_2 = \frac{15 - 25}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Поскольку число членов прогрессии $n$ не может быть отрицательным, выбираем $n = 20$.

2. Найдем n-й член прогрессии $a_n = a_{20}$.
Воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_{20} = -35 + (20-1) \cdot 5$
$a_{20} = -35 + 19 \cdot 5$
$a_{20} = -35 + 95$
$a_{20} = 60$

Ответ: $n = 20$; $a_n = 60$.

в) Дано: $d = \frac{1}{2}$, $a_n = 50$, $S_n = 2525$. Найти $a_1$ и $n$.

1. Составим систему уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $n$.
Из формулы n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d \implies 50 = a_1 + (n-1)\frac{1}{2}$ (1)
Из формулы суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \implies 2525 = \frac{a_1 + 50}{2} \cdot n$ (2)

2. Решим систему уравнений. Выразим $a_1$ из первого уравнения:
$50 = a_1 + \frac{n}{2} - \frac{1}{2}$
$100 = 2a_1 + n - 1$
$2a_1 = 101 - n \implies a_1 = \frac{101 - n}{2}$

3. Подставим выражение для $a_1$ во второе уравнение:
$2525 = \frac{\frac{101 - n}{2} + 50}{2} \cdot n$
$2525 = \frac{\frac{101 - n + 100}{2}}{2} \cdot n$
$2525 = \frac{201 - n}{4} \cdot n$
$10100 = (201 - n)n$
$10100 = 201n - n^2$
$n^2 - 201n + 10100 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-201)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10100 = 40401 - 40400 = 1$.
$n = \frac{201 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{201 \pm 1}{2}$.
Получаем два возможных значения для $n$:
$n_1 = \frac{201 + 1}{2} = 101$
$n_2 = \frac{201 - 1}{2} = 100$

4. Найдем соответствующее значение $a_1$ для каждого $n$.
Если $n = 101$, то $a_1 = \frac{101 - 101}{2} = 0$.
Если $n = 100$, то $a_1 = \frac{101 - 100}{2} = \frac{1}{2}$.
Оба решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: задача имеет два решения: 1) $a_1 = 0$, $n = 101$; 2) $a_1 = \frac{1}{2}$, $n = 100$.

г) Дано: $a_1 = -\frac{1}{2}$, $a_n = -29\frac{1}{2}$, $S_n = -450$. Найти $d$ и $n$.

1. Найдем количество членов прогрессии $n$.
Воспользуемся формулой суммы: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Представим $a_n = -29\frac{1}{2}$ как $-\frac{59}{2}$.
$-450 = \frac{-\frac{1}{2} + (-\frac{59}{2})}{2} \cdot n$
$-450 = \frac{-\frac{60}{2}}{2} \cdot n$
$-450 = \frac{-30}{2} \cdot n$
$-450 = -15n$
$n = \frac{-450}{-15} = 30$

2. Найдем разность прогрессии $d$.
Воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставим $n=30$:
$a_{30} = a_1 + (30-1)d$
$-\frac{59}{2} = -\frac{1}{2} + 29d$
$-\frac{59}{2} + \frac{1}{2} = 29d$
$-\frac{58}{2} = 29d$
$-29 = 29d$
$d = -1$

Ответ: $d = -1$; $n = 30$.

655. Найдите разность арифметической прогрессии (xₙ) и её первый член, если десятый член этой прогрессии равен 1 и сумма первых шестнадцати её членов равна 4.

Обозначим первый член арифметической прогрессии $(x_n)$ как $x_1$, а её разность как $d$.

По условию задачи, десятый член прогрессии равен 1 ($x_{10} = 1$). Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $x_n = x_1 + (n-1)d$.

Для $n=10$ получаем:
$x_{10} = x_1 + (10-1)d = x_1 + 9d$.
Так как $x_{10} = 1$, мы можем составить первое уравнение:
$x_1 + 9d = 1$

Также по условию, сумма первых шестнадцати членов прогрессии равна 4 ($S_{16} = 4$). Используем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2x_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Для $n=16$ получаем:
$S_{16} = \frac{2x_1 + (16-1)d}{2} \cdot 16 = (2x_1 + 15d) \cdot 8$.
Так как $S_{16} = 4$, мы можем составить второе уравнение:
$(2x_1 + 15d) \cdot 8 = 4$
$2x_1 + 15d = \frac{4}{8}$
$2x_1 + 15d = \frac{1}{2}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $x_1$ и $d$:
$\begin{cases} x_1 + 9d = 1 \\ 2x_1 + 15d = \frac{1}{2} \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x_1$:
$x_1 = 1 - 9d$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(1 - 9d) + 15d = \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:
$2 - 18d + 15d = \frac{1}{2}$
$2 - 3d = \frac{1}{2}$
$-3d = \frac{1}{2} - 2$
$-3d = -\frac{3}{2}$
$d = \frac{-3/2}{-3} = \frac{1}{2}$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь найдем её первый член, подставив значение $d$ в выражение для $x_1$:
$x_1 = 1 - 9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{9}{2} = \frac{2}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{7}{2}$

Ответ: разность арифметической прогрессии равна $\frac{1}{2}$, её первый член равен $-\frac{7}{2}$.

656. Найдите сумму:

а) всех двузначных чисел;

б) всех трёхзначных чисел.

а) Чтобы найти сумму всех двузначных чисел, мы можем рассматривать их как арифметическую прогрессию. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются на 99.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 10$.

Последний член прогрессии $a_n = 99$.

Разность прогрессии $d = 1$, так как мы рассматриваем все целые числа подряд.

Сначала найдем количество двузначных чисел (количество членов прогрессии $n$). Это можно сделать по формуле n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ или просто вычитанием: $n = 99 - 10 + 1 = 90$.

Теперь найдем сумму этих чисел, используя формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения:

$S_{90} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$

Ответ: 4905

б) Аналогично найдем сумму всех трёхзначных чисел. Они также образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии $a_1 = 100$.

Последний член прогрессии $a_n = 999$.

Разность прогрессии $d = 1$.

Найдем количество трёхзначных чисел: $n = 999 - 100 + 1 = 900$.

Теперь найдем их сумму по той же формуле суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим наши значения:

$S_{900} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$

Ответ: 494550

657. Найдите сумму:

а) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200;

б) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150;

в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.

а) Найдём сумму всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200. Эти числа (2, 4, 6, ..., 200) образуют арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 2$, последний член $a_n = 200$, а разность прогрессии $d = 2$.

Сначала найдём количество членов в этой прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$200 = 2 + (n-1) \cdot 2$

$198 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = 99$

$n = 100$

Теперь, зная количество членов, мы можем найти их сумму по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_{100} = \frac{2 + 200}{2} \cdot 100 = \frac{202}{2} \cdot 100 = 101 \cdot 100 = 10100$.

Ответ: 10100.

б) Найдём сумму всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150. Эти числа (1, 3, 5, ..., 149) также образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии $a_1 = 1$, последний член $a_n = 149$, а разность $d = 2$.

Найдём количество членов ($n$) в этой прогрессии:

$149 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$148 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = 74$

$n = 75$

Теперь вычислим сумму этой прогрессии:

$S_{75} = \frac{1 + 149}{2} \cdot 75 = \frac{150}{2} \cdot 75 = 75 \cdot 75 = 5625$.

Ответ: 5625.

в) Найдём сумму всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число в заданном промежутке, кратное 3. $100 / 3 \approx 33.33$, значит, первое такое число — это $3 \cdot 34 = 102$. Итак, $a_1 = 102$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее натуральное число в заданном промежутке, кратное 3. $200 / 3 \approx 66.67$, значит, последнее такое число — это $3 \cdot 66 = 198$. Итак, $a_n = 198$.

Разность этой прогрессии $d = 3$.

Найдём количество членов ($n$):

$198 = 102 + (n-1) \cdot 3$

$96 = (n-1) \cdot 3$

$n-1 = 32$

$n = 33$

Теперь вычислим сумму этой прогрессии:

$S_{33} = \frac{102 + 198}{2} \cdot 33 = \frac{300}{2} \cdot 33 = 150 \cdot 33 = 4950$.

Ответ: 4950.

658. Какова сумма натуральных чисел:

а) меньших 100 и не кратных 3;

б) больших 50, но меньших 150 и не кратных 5?

а) Чтобы найти сумму натуральных чисел, меньших 100 и не кратных 3, мы сначала найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99, а затем вычтем из нее сумму тех чисел из этого диапазона, которые кратны 3.

1. Найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 1$, последний член $a_{99} = 99$, и количество членов $n = 99$. Сумма находится по формуле:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$

$S_{1..99} = \frac{(1 + 99) \cdot 99}{2} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950$

2. Теперь найдем сумму натуральных чисел от 1 до 99, которые кратны 3. Это числа 3, 6, 9, ..., 99. Они также образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 3$. Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$, а последний $b_k = 99$. Найдем количество членов $k$:

$b_k = b_1 + (k-1)d$

$99 = 3 + (k-1) \cdot 3$

$96 = (k-1) \cdot 3$

$k-1 = 32$

$k = 33$

Сумма этих 33 чисел равна:

$S_{кратные\;3} = \frac{(b_1 + b_k)k}{2} = \frac{(3 + 99) \cdot 33}{2} = \frac{102 \cdot 33}{2} = 51 \cdot 33 = 1683$

3. Вычтем сумму чисел, кратных 3, из общей суммы, чтобы получить искомый результат:

$S = S_{1..99} - S_{кратные\;3} = 4950 - 1683 = 3267$

Ответ: 3267

б) Чтобы найти сумму натуральных чисел, больших 50, но меньших 150 и не кратных 5, мы найдем сумму всех натуральных чисел в диапазоне от 51 до 149, а затем вычтем из нее сумму тех чисел из этого диапазона, которые кратны 5.

1. Найдем сумму всех натуральных чисел от 51 до 149. Это арифметическая прогрессия. Первый член $a_1 = 51$, последний $a_n = 149$. Количество членов $n = 149 - 51 + 1 = 99$.

$S_{51..149} = \frac{(51 + 149) \cdot 99}{2} = \frac{200 \cdot 99}{2} = 100 \cdot 99 = 9900$

2. Найдем сумму чисел в этом диапазоне, которые кратны 5. Это числа 55, 60, ..., 145. Они образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 5$. Первый член $b_1 = 55$, последний $b_k = 145$. Найдем количество членов $k$:

$b_k = b_1 + (k-1)d$

$145 = 55 + (k-1) \cdot 5$

$90 = (k-1) \cdot 5$

$k-1 = 18$

$k = 19$

Сумма этих 19 чисел равна:

$S_{кратные\;5} = \frac{(b_1 + b_k)k}{2} = \frac{(55 + 145) \cdot 19}{2} = \frac{200 \cdot 19}{2} = 100 \cdot 19 = 1900$

3. Вычтем сумму чисел, кратных 5, из общей суммы чисел в диапазоне:

$S = S_{51..149} - S_{кратные\;5} = 9900 - 1900 = 8000$

Ответ: 8000