Страница 188 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

681. Найдите значение выражения:

а) Подставим значение $x = -\frac{1}{2}$ в выражение $\frac{2 - 3x^2}{x^3}$.
Сначала вычислим числитель: $2 - 3x^2 = 2 - 3 \cdot (-\frac{1}{2})^2 = 2 - 3 \cdot \frac{1}{4} = 2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$.
Теперь вычислим знаменатель: $x^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{\frac{5}{4}}{-\frac{1}{8}} = \frac{5}{4} \cdot (-\frac{8}{1}) = -\frac{5 \cdot 8}{4} = -\frac{40}{4} = -10$.
Ответ: -10

б) Подставим значение $m = \frac{2}{3}$ в выражение $\frac{1 - m^2}{3m^2 - m}$.
Вычислим числитель: $1 - m^2 = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Вычислим знаменатель: $3m^2 - m = 3 \cdot (\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{2}{3} = \frac{12}{9} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{\frac{5}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 2} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

в) Подставим значения $x = 1,4$ и $y = -1,6$ в выражение $\frac{10x^2 - 5y^2}{x + y}$.
Вычислим числитель: $10x^2 - 5y^2 = 10 \cdot (1,4)^2 - 5 \cdot (-1,6)^2 = 10 \cdot 1,96 - 5 \cdot 2,56 = 19,6 - 12,8 = 6,8$.
Вычислим знаменатель: $x + y = 1,4 + (-1,6) = 1,4 - 1,6 = -0,2$.
Разделим числитель на знаменатель: $\frac{6,8}{-0,2} = -\frac{68}{2} = -34$.
Ответ: -34

г) Рассмотрим выражение $\frac{abc}{a(b - c)}$ при $a = 1,5$, $b = 10$, $c = -2$.
Так как $a = 1,5 \ne 0$, мы можем сократить дробь на $a$: $\frac{abc}{a(b - c)} = \frac{bc}{b - c}$.
Теперь подставим значения $b$ и $c$ в упрощенное выражение:
$\frac{10 \cdot (-2)}{10 - (-2)} = \frac{-20}{10 + 2} = \frac{-20}{12}$.
Сократим полученную дробь на 4: $\frac{-20}{12} = -\frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 4} = -\frac{5}{3}$.
Ответ: $-\frac{5}{3}$

682. а) Телевизор стоил 10 000 р. В апреле он подорожал на 30%, а в декабре подешевел на 40%. Сколько стал стоить телевизор в декабре?

б) Цену товара повысили на 30%, а через некоторое время снизили на 40%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?

а)

1. Сначала найдем цену телевизора после подорожания в апреле. Первоначальная цена составляла 10 000 р. и увеличилась на 30%.

Увеличение цены на 30% эквивалентно умножению на коэффициент $1 + \frac{30}{100} = 1.3$.

Цена в апреле: $10000 \times 1.3 = 13000$ р.

2. Затем найдем цену после удешевления в декабре. Цена снизилась на 40% от новой, апрельской цены (13 000 р.).

Уменьшение цены на 40% эквивалентно умножению на коэффициент $1 - \frac{40}{100} = 0.6$.

Цена в декабре: $13000 \times 0.6 = 7800$ р.

Ответ: 7800 р.

б)

1. Пусть первоначальная цена товара равна $x$.

2. После повышения цены на 30% она стала равна:

$x \times (1 + \frac{30}{100}) = x \times 1.3 = 1.3x$

3. Затем новую цену ($1.3x$) снизили на 40%. Итоговая цена стала равна:

$1.3x \times (1 - \frac{40}{100}) = 1.3x \times 0.6 = 0.78x$

4. Итоговая цена ($0.78x$) составляет 78% от первоначальной цены ($x$). Чтобы найти, на сколько процентов изменилась цена, нужно найти разницу между первоначальной и итоговой ценой в процентах.

Изменение цены: $100\% - 78\% = 22\%$

Поскольку итоговая цена меньше первоначальной ($0.78x < x$), цена товара снизилась.

Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 22%.

683. К 200 г 40%-го раствора соли долили 300 г воды. Какой стала концентрация раствора соли?

Для решения задачи необходимо выполнить три основных шага: найти массу соли в исходном растворе, определить массу нового раствора и рассчитать его концентрацию.

1. Нахождение массы соли в исходном растворе.

Масса исходного раствора составляет 200 г, а концентрация соли в нем — 40%. Масса соли ($m_{соли}$) вычисляется как произведение массы раствора на долю соли в нем.

Переведем проценты в десятичную дробь: $40\% = 0.4$.

Вычислим массу соли:

$m_{соли} = 200 \text{ г} \times 0.4 = 80 \text{ г}$

Таким образом, в 200 г 40%-го раствора содержится 80 г соли.

2. Нахождение массы нового раствора.

К исходному раствору массой 200 г добавили 300 г воды. Общая масса нового раствора ($m_{нового\_раствора}$) равна сумме масс исходного раствора и добавленной воды:

$m_{нового\_раствора} = 200 \text{ г} + 300 \text{ г} = 500 \text{ г}$

3. Расчет новой концентрации раствора.

При добавлении чистой воды масса растворенного вещества (соли) не изменяется, она по-прежнему составляет 80 г. Новая концентрация ($C_{новая}$) находится как отношение массы соли к массе нового раствора, выраженное в процентах.

$C_{новая} = \frac{m_{соли}}{m_{нового\_раствора}} \times 100\%$

Подставим известные значения в формулу:

$C_{новая} = \frac{80 \text{ г}}{500 \text{ г}} \times 100\% = \frac{8}{50} \times 100\% = 0.16 \times 100\% = 16\%$

Ответ: новая концентрация раствора соли составляет 16%.

684. а) Некоторое количество 15%-го раствора соли смешали с таким же количеством 45%-го раствора этой же соли. Какова концентрация получившегося раствора?

б) Некоторое количество 30%-го раствора соли смешали с вдвое большим количеством 15%-го раствора этой же соли. Какова концентрация получившегося раствора?

а) Для решения задачи примем массу каждого из смешиваемых растворов за $m$.

Концентрация раствора — это отношение массы растворенного вещества (соли) к массе всего раствора. 15% концентрация означает, что масса соли в первом растворе составляет $0.15 \cdot m$.

Масса соли в первом растворе: $m_{соли1} = 0.15 \cdot m$.

Масса соли во втором, 45%-м растворе, соответственно: $m_{соли2} = 0.45 \cdot m$.

Когда растворы смешивают, их массы и массы соли в них складываются.

Общая масса получившегося раствора: $M_{общ} = m + m = 2m$.

Общая масса соли в получившемся растворе: $m_{соли\_общ} = m_{соли1} + m_{соли2} = 0.15m + 0.45m = 0.60m$.

Чтобы найти концентрацию нового раствора, нужно разделить общую массу соли на общую массу раствора и умножить на 100%.

Концентрация $C = \frac{m_{соли\_общ}}{M_{общ}} \cdot 100\% = \frac{0.60m}{2m} \cdot 100\% = 0.3 \cdot 100\% = 30\%$.

Ответ: 30%.

б) Пусть масса 30%-го раствора соли равна $x$.

По условию, масса 15%-го раствора вдвое больше, следовательно, она равна $2x$.

Найдем массу соли в каждом растворе.

Масса соли в первом (30%-м) растворе: $m_{соли1} = 0.30 \cdot x$.

Масса соли во втором (15%-м) растворе: $m_{соли2} = 0.15 \cdot (2x) = 0.30x$.

Теперь найдем общую массу раствора и общую массу соли после смешивания.

Общая масса получившегося раствора: $M_{общ} = x + 2x = 3x$.

Общая масса соли в получившемся растворе: $m_{соли\_общ} = m_{соли1} + m_{соли2} = 0.30x + 0.30x = 0.60x$.

Вычислим концентрацию итогового раствора.

Концентрация $C = \frac{m_{соли\_общ}}{M_{общ}} \cdot 100\% = \frac{0.60x}{3x} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.