Страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

632. Докажите, что при любом натуральном n верно равенство

Докажем данное равенство методом математической индукции. Обозначим доказываемое утверждение как $P(n)$: $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$.

1. База индукции

Проверим верность утверждения для наименьшего натурального числа $n=1$.

Левая часть равенства при $n=1$:
$1 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 4 = 4$.

Правая часть равенства при $n=1$:
$1 \cdot (1 + 1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$.

Поскольку $4=4$, левая часть равна правой, следовательно, утверждение $P(1)$ верно.

2. Индукционный переход

Предположим, что утверждение $P(k)$ верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$. То есть, выполняется равенство (это наше индукционное предположение):

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + k(3k + 1) = k(k + 1)^2$.

Докажем, что в этом случае утверждение $P(k+1)$ также будет верным. Утверждение $P(k+1)$ выглядит так:

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1) + (k+1)(3(k+1) + 1) = (k+1)((k+1) + 1)^2$.

Рассмотрим левую часть этого равенства. Сумма первых $k$ слагаемых, согласно индукционному предположению, равна $k(k + 1)^2$. Заменим эту сумму:

$k(k + 1)^2 + (k+1)(3(k+1) + 1)$

Преобразуем полученное выражение. Сначала упростим второе слагаемое в скобках:

$(k+1)(3k+3+1) = (k+1)(3k+4)$

Теперь всё выражение выглядит так:

$k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4)$

Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки:

$(k+1) [k(k+1) + (3k+4)] = (k+1) [k^2 + k + 3k + 4] = (k+1)(k^2 + 4k + 4)$

Выражение в скобках $k^2 + 4k + 4$ является полным квадратом $(k+2)^2$. Таким образом, получаем:

$(k+1)(k+2)^2$

Теперь сравним полученный результат с правой частью равенства для $n=k+1$:

$(k+1)((k+1) + 1)^2 = (k+1)(k+2)^2$

Левая и правая части совпали. Это означает, что если утверждение верно для $n=k$, оно верно и для $n=k+1$.

Поскольку утверждение верно для $n=1$ (база индукции) и мы доказали индукционный переход, то по принципу математической индукции равенство верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ верно равенство $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$.

633. Пусть (bₙ) — последовательность, в которой

b₁ = –3, bₖ ₊ ₁ = bₖ + 6k + 3.

Докажите, что эту последовательность можно задать формулой bₙ = 3n² – 6.

Для доказательства того, что последовательность, заданная рекуррентно ($b_1 = -3$, $b_{k+1} = b_k + 6k + 3$), может быть задана формулой $b_n = 3n^2 - 6$, воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции (n=1)

Проверим, выполняется ли данное равенство для первого члена последовательности.

По условию, $b_1 = -3$.

Согласно предложенной формуле, при $n=1$ получаем:

$b_1 = 3 \cdot 1^2 - 6 = 3 - 6 = -3$.

Так как значения совпали, формула верна для $n=1$.

2. Индукционное предположение

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, то есть:

$b_k = 3k^2 - 6$.

3. Индукционный шаг

Докажем, что если наше предположение верно для $n=k$, то оно будет верным и для следующего члена последовательности, то есть для $n=k+1$. Иными словами, докажем, что $b_{k+1} = 3(k+1)^2 - 6$.

Для нахождения $b_{k+1}$ воспользуемся рекуррентной формулой из условия:

$b_{k+1} = b_k + 6k + 3$.

Подставим в неё выражение для $b_k$ из нашего индукционного предположения:

$b_{k+1} = (3k^2 - 6) + 6k + 3$.

Упростим полученное выражение:

$b_{k+1} = 3k^2 + 6k - 3$.

Теперь преобразуем правую часть формулы, которую мы хотим доказать, для $n=k+1$:

$3(k+1)^2 - 6 = 3(k^2 + 2k + 1) - 6 = 3k^2 + 6k + 3 - 6 = 3k^2 + 6k - 3$.

Результаты совпали. Следовательно, мы доказали, что из верности формулы для $n=k$ следует её верность для $n=k+1$.

По принципу математической индукции, мы заключаем, что формула $b_n = 3n^2 - 6$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

634. Докажите, что последовательность (aₙ), в которой a₁ = –5, aₖ ₊ ₁ = aₖ + 10k + 5, можно задать формулой aₙ = 5n² – 10.

Для доказательства того, что последовательность $(a_n)$, заданная рекуррентно как $a_1 = -5$ и $a_{k+1} = a_k + 10k + 5$, может быть задана формулой $a_n = 5n^2 - 10$, воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим справедливость формулы для начального значения $n=1$.

Согласно условию задачи, первый член последовательности $a_1 = -5$.

Теперь вычислим значение $a_1$ по предложенной формуле $a_n = 5n^2 - 10$: $a_1 = 5(1)^2 - 10 = 5 \cdot 1 - 10 = 5 - 10 = -5$.

Полученные значения совпадают, следовательно, формула верна для $n=1$.

2. Индукционный шаг.

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$. Это является нашим индукционным предположением: $a_k = 5k^2 - 10$.

Докажем, что в этом случае формула будет верна и для следующего числа $n=k+1$. То есть, нам нужно доказать, что $a_{k+1} = 5(k+1)^2 - 10$.

Для нахождения $a_{k+1}$ воспользуемся рекуррентной формулой из условия задачи: $a_{k+1} = a_k + 10k + 5$.

Подставим в это равенство выражение для $a_k$ из индукционного предположения: $a_{k+1} = (5k^2 - 10) + 10k + 5$.

Упростим полученное выражение: $a_{k+1} = 5k^2 + 10k - 5$.

Теперь преобразуем правую часть формулы, которую мы хотим доказать для $n=k+1$: $5(k+1)^2 - 10 = 5(k^2 + 2k + 1) - 10 = 5k^2 + 10k + 5 - 10 = 5k^2 + 10k - 5$.

Мы видим, что выражение для $a_{k+1}$, выведенное из рекуррентной формулы, совпадает с выражением, полученным по формуле n-го члена при $n=k+1$. Следовательно, индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный шаг доказан, по принципу математической индукции мы заключаем, что формула $a_n = 5n^2 - 10$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

635. Докажите, что разность 49ⁿ – 1 кратна 48 при любом натуральном n.

Для доказательства того, что выражение $49^n - 1$ делится на 48 при любом натуральном $n$, можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование формулы разности степеней

Воспользуемся известной формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

В нашем случае $a = 49$ и $b = 1$. Заметим, что $1$ можно представить как $1^n$, так как $1$ в любой натуральной степени равен $1$. Тогда выражение $49^n - 1$ можно переписать как $49^n - 1^n$.

Применим формулу:

$49^n - 1^n = (49 - 1)(49^{n-1} \cdot 1^0 + 49^{n-2} \cdot 1^1 + \dots + 49^1 \cdot 1^{n-2} + 49^0 \cdot 1^{n-1})$

$49^n - 1 = 48 \cdot (49^{n-1} + 49^{n-2} + \dots + 49 + 1)$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), все слагаемые в скобках $(49^{n-1} + 49^{n-2} + \dots + 1)$ являются целыми числами. Следовательно, их сумма также является целым числом.

Пусть $k = 49^{n-1} + 49^{n-2} + \dots + 49 + 1$, где $k$ — целое число. Тогда исходное выражение можно представить в виде $48k$. Это по определению означает, что выражение $49^n - 1$ делится на 48 нацело при любом натуральном $n$.

Ответ: Делимость доказана. Выражение $49^n - 1$ представлено в виде произведения $48 \cdot (49^{n-1} + \dots + 1)$, где второй множитель является целым числом, что доказывает кратность 48.

Способ 2: Метод математической индукции

Доказательство по индукции состоит из двух шагов: базового случая и индукционного перехода.

1. База индукции. Проверим утверждение для наименьшего натурального числа, $n = 1$.

При $n=1$ выражение принимает вид: $49^1 - 1 = 49 - 1 = 48$. Число 48 делится на 48 ($48 = 48 \cdot 1$), следовательно, для $n=1$ утверждение верно.

2. Индукционный переход. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k$, то есть выражение $49^k - 1$ кратно 48. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $49^k - 1 = 48m$. Отсюда можно выразить $49^k = 48m + 1$.

Теперь докажем, что утверждение верно и для следующего натурального числа, $n = k+1$. То есть нам нужно доказать, что $49^{k+1} - 1$ кратно 48.

Рассмотрим выражение $49^{k+1} - 1 = 49 \cdot 49^k - 1$.

Используем наше предположение индукции ($49^k = 48m + 1$) и подставим его в выражение:

$49 \cdot (48m + 1) - 1 = 49 \cdot 48m + 49 \cdot 1 - 1 = 49 \cdot 48m + 48$

Вынесем общий множитель 48 за скобки:

$48 \cdot (49m + 1)$

Поскольку $m$ — целое число, то $49m + 1$ также является целым числом. Таким образом, мы представили $49^{k+1} - 1$ в виде произведения числа 48 на целое число, что доказывает его делимость на 48.

Согласно принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Делимость доказана. С помощью метода математической индукции показано, что если утверждение верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$, а так как оно верно для $n=1$, то оно верно для любого натурального $n$.

Способ 3: Использование бинома Ньютона

Представим число 49 в виде суммы $48 + 1$. Тогда исходное выражение примет вид $(48+1)^n - 1$.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \dots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + \binom{n}{n}b^n$

Подставим $a=48$ и $b=1$:

$(48+1)^n = \binom{n}{0}48^n + \binom{n}{1}48^{n-1} \cdot 1 + \dots + \binom{n}{n-1}48 \cdot 1^{n-1} + \binom{n}{n}1^n$

Заметим, что все слагаемые в этом разложении, кроме последнего, содержат множитель 48. Последнее слагаемое равно $\binom{n}{n}1^n = 1 \cdot 1 = 1$.

Сгруппируем слагаемые:

$(48+1)^n = \left(\binom{n}{0}48^n + \binom{n}{1}48^{n-1} + \dots + \binom{n}{n-1}48\right) + 1$

Вынесем общий множитель 48 за скобки:

$(48+1)^n = 48 \cdot \left(\binom{n}{0}48^{n-1} + \binom{n}{1}48^{n-2} + \dots + \binom{n}{n-1}\right) + 1$

Выражение в скобках является суммой произведений целых чисел (биномиальные коэффициенты и степени 48), поэтому оно само является целым числом. Обозначим его как $K$.

Получаем: $49^n = (48+1)^n = 48K + 1$.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$49^n - 1 = (48K + 1) - 1 = 48K$

Так как $K$ — целое число, то произведение $48K$ кратно 48.

Ответ: Делимость доказана. Применение бинома Ньютона к выражению $(48+1)^n$ показывает, что $49^n$ дает остаток 1 при делении на 48, следовательно, $49^n - 1$ делится на 48 нацело.

636. Пусть (uₙ) — последовательность чисел Фибоначчи, т. е. u₁ = 1, u₂ = 1, uₙ ₊ ₂ = uₙ + uₙ ₊ ₁ при n › 2. Докажите, что эта последовательность обладает следующим свойством:

В задаче дана последовательность чисел Фибоначчи $(u_n)$. Она определяется начальными условиями $u_1=1$, $u_2=1$ и рекуррентным соотношением $u_{n+2} = u_n + u_{n+1}$. Хотя в условии указано ограничение "при $n>2$", для однозначного определения всех членов последовательности, начиная с $u_3$, необходимо, чтобы это соотношение выполнялось при $n \ge 1$. Будем исходить из этого стандартного определения. Первые члены последовательности: $u_1=1, u_2=1, u_3=2, u_4=3, u_5=5, u_6=8, \dots$.

а)

Докажем тождество $u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n}$ методом математической индукции по $n$.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть равенства: $u_1 = 1$.
Правая часть равенства: $u_{2 \cdot 1} = u_2 = 1$.
Поскольку $1=1$, утверждение для $n=1$ верно.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть, $u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2k-1} = u_{2k}$ (индукционное предположение).

Докажем, что из этого следует верность утверждения для $n=k+1$, а именно: $u_1 + u_3 + \dots + u_{2k-1} + u_{2(k+1)-1} = u_{2(k+1)}$.
Рассмотрим левую часть этого равенства:
$S_{k+1} = (u_1 + u_3 + \dots + u_{2k-1}) + u_{2k+1}$.
Используя индукционное предположение, заменяем сумму в скобках на $u_{2k}$:
$S_{k+1} = u_{2k} + u_{2k+1}$.
Согласно рекуррентному определению чисел Фибоначчи, $u_{m} + u_{m+1} = u_{m+2}$. При $m=2k$ получаем $u_{2k} + u_{2k+1} = u_{2k+2}$.
Следовательно, $S_{k+1} = u_{2k+2}$, что и является правой частью равенства для $n=k+1$.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Тождество $u_1 + u_3 + u_5 + \dots + u_{2n-1} = u_{2n}$ доказано.

б)

Докажем тождество $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}$ методом математической индукции по $n$.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть равенства: $u_1^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть равенства: $u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 1 = 1$.
Поскольку $1=1$, утверждение для $n=1$ верно.

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть, $u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2 = u_k u_{k+1}$ (индукционное предположение).

Докажем, что из этого следует верность утверждения для $n=k+1$, а именно: $u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2 + u_{k+1}^2 = u_{k+1} u_{k+2}$.
Рассмотрим левую часть этого равенства:
$T_{k+1} = (u_1^2 + u_2^2 + \dots + u_k^2) + u_{k+1}^2$.
Используя индукционное предположение, заменяем сумму в скобках на $u_k u_{k+1}$:
$T_{k+1} = u_k u_{k+1} + u_{k+1}^2$.
Вынесем общий множитель $u_{k+1}$ за скобки:
$T_{k+1} = u_{k+1}(u_k + u_{k+1})$.
Согласно рекуррентному определению чисел Фибоначчи, $u_k + u_{k+1} = u_{k+2}$. Подставив это в наше выражение, получаем:
$T_{k+1} = u_{k+1} u_{k+2}$.
Это совпадает с правой частью равенства для $n=k+1$.
Шаг индукции доказан. По принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Тождество $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \dots + u_n^2 = u_n \cdot u_{n+1}$ доказано.

637. Вычислите первые пять членов последовательности (cₙ), заданной формулой:

Чтобы вычислить первые пять членов последовательности $(c_n)$, нужно подставить в заданную формулу значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

а) $c_n = -2n^2 + 7$

Вычислим члены последовательности:

$c_1 = -2 \cdot 1^2 + 7 = -2 \cdot 1 + 7 = -2 + 7 = 5$

$c_2 = -2 \cdot 2^2 + 7 = -2 \cdot 4 + 7 = -8 + 7 = -1$

$c_3 = -2 \cdot 3^2 + 7 = -2 \cdot 9 + 7 = -18 + 7 = -11$

$c_4 = -2 \cdot 4^2 + 7 = -2 \cdot 16 + 7 = -32 + 7 = -25$

$c_5 = -2 \cdot 5^2 + 7 = -2 \cdot 25 + 7 = -50 + 7 = -43$

Ответ: 5; -1; -11; -25; -43.

б) $c_n = \frac{100}{n^2 - 5}$

Вычислим члены последовательности:

$c_1 = \frac{100}{1^2 - 5} = \frac{100}{1 - 5} = \frac{100}{-4} = -25$

$c_2 = \frac{100}{2^2 - 5} = \frac{100}{4 - 5} = \frac{100}{-1} = -100$

$c_3 = \frac{100}{3^2 - 5} = \frac{100}{9 - 5} = \frac{100}{4} = 25$

$c_4 = \frac{100}{4^2 - 5} = \frac{100}{16 - 5} = \frac{100}{11}$

$c_5 = \frac{100}{5^2 - 5} = \frac{100}{25 - 5} = \frac{100}{20} = 5$

Ответ: -25; -100; 25; $\frac{100}{11}$; 5.

в) $c_n = -2,5 \cdot 2^n$

Вычислим члены последовательности:

$c_1 = -2,5 \cdot 2^1 = -2,5 \cdot 2 = -5$

$c_2 = -2,5 \cdot 2^2 = -2,5 \cdot 4 = -10$

$c_3 = -2,5 \cdot 2^3 = -2,5 \cdot 8 = -20$

$c_4 = -2,5 \cdot 2^4 = -2,5 \cdot 16 = -40$

$c_5 = -2,5 \cdot 2^5 = -2,5 \cdot 32 = -80$

Ответ: -5; -10; -20; -40; -80.

г) $c_n = 3,2 \cdot 2^{-n}$

Вычислим члены последовательности:

$c_1 = 3,2 \cdot 2^{-1} = 3,2 \cdot \frac{1}{2} = 1,6$

$c_2 = 3,2 \cdot 2^{-2} = 3,2 \cdot \frac{1}{4} = 0,8$

$c_3 = 3,2 \cdot 2^{-3} = 3,2 \cdot \frac{1}{8} = 0,4$

$c_4 = 3,2 \cdot 2^{-4} = 3,2 \cdot \frac{1}{16} = 0,2$

$c_5 = 3,2 \cdot 2^{-5} = 3,2 \cdot \frac{1}{32} = 0,1$

Ответ: 1,6; 0,8; 0,4; 0,2; 0,1.

д) $c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{4n}$

Вычислим члены последовательности:

$c_1 = \frac{(-1)^{1-1}}{4 \cdot 1} = \frac{(-1)^0}{4} = \frac{1}{4}$

$c_2 = \frac{(-1)^{2-1}}{4 \cdot 2} = \frac{(-1)^1}{8} = -\frac{1}{8}$

$c_3 = \frac{(-1)^{3-1}}{4 \cdot 3} = \frac{(-1)^2}{12} = \frac{1}{12}$

$c_4 = \frac{(-1)^{4-1}}{4 \cdot 4} = \frac{(-1)^3}{16} = -\frac{1}{16}$

$c_5 = \frac{(-1)^{5-1}}{4 \cdot 5} = \frac{(-1)^4}{20} = \frac{1}{20}$

Ответ: $\frac{1}{4}$; $-\frac{1}{8}$; $\frac{1}{12}$; $-\frac{1}{16}$; $\frac{1}{20}$.

е) $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2n + 1}$

Вычислим члены последовательности, учитывая, что $(-1)^n$ равно -1 для нечетных $n$ и 1 для четных $n$:

$c_1 = \frac{1 - (-1)^1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1 - (-1)}{3} = \frac{2}{3}$

$c_2 = \frac{1 - (-1)^2}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{1 - 1}{5} = \frac{0}{5} = 0$

$c_3 = \frac{1 - (-1)^3}{2 \cdot 3 + 1} = \frac{1 - (-1)}{7} = \frac{2}{7}$

$c_4 = \frac{1 - (-1)^4}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{1 - 1}{9} = \frac{0}{9} = 0$

$c_5 = \frac{1 - (-1)^5}{2 \cdot 5 + 1} = \frac{1 - (-1)}{11} = \frac{2}{11}$

Ответ: $\frac{2}{3}$; 0; $\frac{2}{7}$; 0; $\frac{2}{11}$.

638. Задайте формулой n-го члена последовательность (aₙ), если:

а) (aₙ) — последовательность натуральных чисел, кратных 5;

б) (aₙ) — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

а)

Требуется задать формулу для последовательности $(a_n)$, которая является последовательностью натуральных чисел, кратных 5.

Выпишем первые несколько членов этой последовательности:

• Первый член ($n=1$): первое натуральное число, кратное 5, это 5. $a_1 = 5$.
• Второй член ($n=2$): второе натуральное число, кратное 5, это 10. $a_2 = 10$.
• Третий член ($n=3$): третье натуральное число, кратное 5, это 15. $a_3 = 15$.
• Четвертый член ($n=4$): четвертое натуральное число, кратное 5, это 20. $a_4 = 20$.

Заметим, что каждый член последовательности получается умножением его порядкового номера $n$ на число 5. То есть, $a_1 = 5 \cdot 1$, $a_2 = 5 \cdot 2$, $a_3 = 5 \cdot 3$, и так далее. Следовательно, формула для $n$-го члена последовательности имеет вид:

$a_n = 5n$

Ответ: $a_n = 5n$.

б)

Требуется задать формулу для последовательности $(a_n)$, которая является последовательностью натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

Выпишем первые несколько членов этой последовательности:

• Первый член ($n=1$): наименьшее натуральное число, дающее остаток 1 при делении на 5, это 1. ($1 = 5 \cdot 0 + 1$). $a_1 = 1$.
• Второй член ($n=2$): следующее такое число — 6. ($6 = 5 \cdot 1 + 1$). $a_2 = 6$.
• Третий член ($n=3$): следующее число — 11. ($11 = 5 \cdot 2 + 1$). $a_3 = 11$.
• Четвертый член ($n=4$): следующее число — 16. ($16 = 5 \cdot 3 + 1$). $a_4 = 16$.

Данная последовательность 1, 6, 11, 16, ... является арифметической прогрессией. Ее первый член $a_1 = 1$. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 6 - 1 = 5$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим в нее значения $a_1 = 1$ и $d = 5$:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 5$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_n = 1 + 5n - 5 = 5n - 4$

Проверим формулу:

• $n=1: a_1 = 5(1) - 4 = 1$. Верно.
• $n=2: a_2 = 5(2) - 4 = 10 - 4 = 6$. Верно.
• $n=3: a_3 = 5(3) - 4 = 15 - 4 = 11$. Верно.

Ответ: $a_n = 5n - 4$.

639. Вычислите первые несколько членов последовательности (yₙ), если:

а) Дана последовательность, где первый член $y_1 = -3$ и рекуррентная формула $y_{n+1} - y_n = 10$.

Выразим $y_{n+1}$ через $y_n$: $y_{n+1} = y_n + 10$. Это означает, что каждый следующий член последовательности на 10 больше предыдущего. Такая последовательность является арифметической прогрессией.

Вычислим первые несколько членов:

$y_1 = -3$

$y_2 = y_1 + 10 = -3 + 10 = 7$

$y_3 = y_2 + 10 = 7 + 10 = 17$

$y_4 = y_3 + 10 = 17 + 10 = 27$

Ответ: -3; 7; 17; 27.

б) Дана последовательность, где первый член $y_1 = 10$ и рекуррентная формула $y_{n+1} \cdot y_n = 2,5$.

Выразим $y_{n+1}$ из формулы: $y_{n+1} = \frac{2,5}{y_n}$.

Вычислим первые несколько членов:

$y_1 = 10$

$y_2 = \frac{2,5}{y_1} = \frac{2,5}{10} = 0,25$

$y_3 = \frac{2,5}{y_2} = \frac{2,5}{0,25} = 10$

$y_4 = \frac{2,5}{y_3} = \frac{2,5}{10} = 0,25$

Члены последовательности принимают чередующиеся значения.

Ответ: 10; 0,25; 10; 0,25.

в) Дана последовательность, где первый член $y_1 = 1,5$ и рекуррентная формула $y_{n+1} - y_n = n$.

Выразим $y_{n+1}$ из формулы: $y_{n+1} = y_n + n$. В этом случае к каждому члену прибавляется его номер $n$, чтобы получить следующий член.

Вычислим первые несколько членов:

$y_1 = 1,5$

При $n=1$: $y_2 = y_1 + 1 = 1,5 + 1 = 2,5$

При $n=2$: $y_3 = y_2 + 2 = 2,5 + 2 = 4,5$

При $n=3$: $y_4 = y_3 + 3 = 4,5 + 3 = 7,5$

Ответ: 1,5; 2,5; 4,5; 7,5.

г) Дана последовательность, где первый член $y_1 = -4$ и рекуррентная формула $y_{n+1} : y_n = -n^2$.

Выразим $y_{n+1}$ из формулы: $y_{n+1} = y_n \cdot (-n^2)$. Чтобы получить следующий член, нужно предыдущий умножить на $-n^2$, где $n$ — номер предыдущего члена.

Вычислим первые несколько членов:

$y_1 = -4$

При $n=1$: $y_2 = y_1 \cdot (-1^2) = -4 \cdot (-1) = 4$

При $n=2$: $y_3 = y_2 \cdot (-2^2) = 4 \cdot (-4) = -16$

При $n=3$: $y_4 = y_3 \cdot (-3^2) = -16 \cdot (-9) = 144$

Ответ: -4; 4; -16; 144.

640. Найдите члены арифметической прогрессии (aₙ), обозначенные буквами:

а)

В данной арифметической прогрессии известны третий и четвертый члены: $a_3 = -19$ и $a_4 = -11,5$.

1. Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Разность $d$ равна разнице между любым членом прогрессии и предыдущим.

$d = a_4 - a_3 = -11,5 - (-19) = -11,5 + 19 = 7,5$.

2. Зная разность прогрессии, мы можем найти остальные члены. Формула для n-го члена: $a_n = a_{n-1} + d$. Соответственно, $a_{n-1} = a_n - d$.

Найдем $a_2$:

$a_2 = a_3 - d = -19 - 7,5 = -26,5$.

Найдем $a_1$:

$a_1 = a_2 - d = -26,5 - 7,5 = -34$.

Найдем $a_5$:

$a_5 = a_4 + d = -11,5 + 7,5 = -4$.

Ответ: $a_1 = -34; a_2 = -26,5; a_5 = -4$.

б)

В данной арифметической прогрессии известны второй и четвертый члены: $a_2 = -8,5$ и $a_4 = -4,5$.

1. Сначала найдем разность арифметической прогрессии $d$. Воспользуемся общей формулой n-го члена $a_n = a_m + (n-m)d$.

Для наших членов $a_4 = a_2 + (4-2)d$, то есть $a_4 = a_2 + 2d$.

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $d$:

$-4,5 = -8,5 + 2d$

$2d = -4,5 - (-8,5) = -4,5 + 8,5 = 4$

$d = \frac{4}{2} = 2$.

2. Теперь, зная разность, найдем остальные члены прогрессии.

Найдем $a_1$:

$a_1 = a_2 - d = -8,5 - 2 = -10,5$.

Найдем $a_3$. $a_3$ находится между $a_2$ и $a_4$:

$a_3 = a_2 + d = -8,5 + 2 = -6,5$.

Найдем $a_5$:

$a_5 = a_4 + d = -4,5 + 2 = -2,5$.

Найдем $a_6$:

$a_6 = a_5 + d = -2,5 + 2 = -0,5$.

Ответ: $a_1 = -10,5; a_3 = -6,5; a_5 = -2,5; a_6 = -0,5$.