Страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

659. Найдите натуральное число, которое:

а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;

б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.

а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;

Пусть искомое натуральное число – это $n$. Поскольку у него есть предшествующие натуральные числа, $n > 1$. Ряд предшествующих натуральных чисел: $1, 2, 3, \ldots, n-1$. Сумма этих чисел представляет собой сумму членов арифметической прогрессии, которую можно найти по формуле: $S_{n-1} = \frac{(1 + (n-1)) \cdot (n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.

По условию задачи, искомое число $n$ в 5 раз меньше этой суммы. Составим уравнение: $n = \frac{S_{n-1}}{5}$ $5n = S_{n-1}$ Подставим выражение для суммы: $5n = \frac{n(n-1)}{2}$ Поскольку $n$ – натуральное число и $n > 1$, мы можем разделить обе части уравнения на $n$: $5 = \frac{n-1}{2}$ Теперь решим это уравнение относительно $n$: $10 = n-1$ $n = 11$

Проверим: предшествующие числу 11 натуральные числа – это $1, 2, \ldots, 10$. Их сумма равна $\frac{10(10+1)}{2} = \frac{110}{2} = 55$. Проверим условие: $11 = \frac{55}{5}$. Условие выполняется.
Ответ: 11

б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.

Пусть искомое натуральное число – это $n$, где $n > 1$. Сумма предшествующих ему натуральных чисел, как и в предыдущем пункте, равна: $S_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}$.

По условию задачи, число $n$ равно этой сумме. Составим уравнение: $n = S_{n-1}$ $n = \frac{n(n-1)}{2}$ Разделим обе части уравнения на $n$ (так как $n > 1$): $1 = \frac{n-1}{2}$ Решим уравнение: $2 = n-1$ $n = 3$

Проверим: предшествующие числу 3 натуральные числа – это 1 и 2. Их сумма равна $1 + 2 = 3$. Искомое число 3 равно сумме предшествующих ему чисел. Условие выполняется.
Ответ: 3

660. Члены арифметической прогрессии

2; 5; 8; …

с чётными номерами заменили противоположными им числами. В результате получили последовательность (xₙ). Напишите формулу n-го члена этой последовательности и найдите сумму первых пятидесяти её членов.

Напишите формулу n-го члена этой последовательности

Исходная последовательность 2; 5; 8; ... является арифметической прогрессией. Обозначим ее члены как $(a_n)$. Первый член этой прогрессии $a_1 = 2$. Найдем разность прогрессии $d$, вычтя первый член из второго: $d = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$. Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив известные значения, получим формулу для n-го члена исходной прогрессии: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 2 + 3n - 3 = 3n - 1$.

Новая последовательность $(x_n)$ получается из $(a_n)$ заменой членов с четными номерами $n$ на противоположные им числа. Это означает, что:
- если $n$ — нечетное число, то $x_n = a_n$;
- если $n$ — четное число, то $x_n = -a_n$.
Это можно записать в виде единой формулы, используя множитель $(-1)^{n+1}$, который равен 1 для нечетных $n$ и -1 для четных $n$. Таким образом, формула n-го члена новой последовательности $(x_n)$ такова: $x_n = (-1)^{n+1} \cdot a_n = (-1)^{n+1}(3n - 1)$.

Ответ: $x_n = (-1)^{n+1}(3n - 1)$.

Найдите сумму первых пятидесяти её членов

Нам необходимо найти сумму первых 50 членов последовательности $(x_n)$, то есть $S_{50} = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots + x_{49} + x_{50}$. Поскольку знаки членов последовательности чередуются, удобно сгруппировать слагаемые попарно: $S_{50} = (x_1 + x_2) + (x_3 + x_4) + \dots + (x_{49} + x_{50})$. Всего 50 членов, что составляет $50 / 2 = 25$ таких пар.

Рассмотрим сумму произвольной k-й пары $(x_{2k-1} + x_{2k})$, где $k$ принимает значения от 1 до 25. Член с нечетным номером: $x_{2k-1} = a_{2k-1} = 3(2k-1) - 1 = 6k - 3 - 1 = 6k - 4$. Член с четным номером: $x_{2k} = -a_{2k} = -(3(2k) - 1) = -(6k - 1) = 1 - 6k$. Сложим эти два члена, чтобы найти сумму пары: $x_{2k-1} + x_{2k} = (6k - 4) + (1 - 6k) = -3$.

Сумма каждой пары оказалась постоянной и равной -3. Поскольку у нас 25 таких пар, общая сумма первых пятидесяти членов будет равна произведению количества пар на сумму одной пары: $S_{50} = 25 \cdot (-3) = -75$.

Ответ: -75.

661. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ и $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$.

Сначала преобразуем числитель. Он представляет собой произведение степеней $x$, поэтому его можно записать как $x$ в степени, равной сумме показателей: $1+2+3+\ldots+n$. Эта сумма является суммой первых $n$ членов арифметической прогрессии (первых $n$ натуральных чисел). Формула для этой суммы: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Таким образом, числитель равен: $x^{1+2+3+\ldots+n} = x^{\frac{n(n+1)}{2}}$.

Теперь преобразуем знаменатель. Показатели степеней в знаменателе $1, 3, 5, \ldots, 2n-1$ также образуют арифметическую прогрессию. Это последовательность первых $n$ нечетных чисел. Сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n^2$.

Таким образом, знаменатель равен: $x^{1+3+5+\ldots+(2n-1)} = x^{n^2}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель, для этого вычтем показатель степени знаменателя из показателя степени числителя:

$\frac{x^{\frac{n(n+1)}{2}}}{x^{n^2}} = x^{\frac{n(n+1)}{2} - n^2} = x^{\frac{n^2+n}{2} - \frac{2n^2}{2}} = x^{\frac{n^2+n-2n^2}{2}} = x^{\frac{n-n^2}{2}} = x^{\frac{n(1-n)}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{n(1-n)}{2}}$

б) Упростим это выражение, используя тот же подход.

В числителе показатели степеней $2, 4, 6, \ldots, 2n$ представляют собой сумму первых $n$ четных чисел. Эту сумму можно найти, вынеся общий множитель 2 за скобки: $2(1+2+3+\ldots+n)$. Мы уже знаем, что сумма в скобках равна $\frac{n(n+1)}{2}$.

Следовательно, сумма показателей в числителе: $2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.

Числитель равен: $x^{2+4+6+\ldots+2n} = x^{n(n+1)}$.

В знаменателе мы имеем то же выражение, что и в числителе пункта а): $x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n$. Сумма показателей степеней равна $1+2+3+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Знаменатель равен: $x^{1+2+3+\ldots+n} = x^{\frac{n(n+1)}{2}}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели степеней:

$\frac{x^{n(n+1)}}{x^{\frac{n(n+1)}{2}}} = x^{n(n+1) - \frac{n(n+1)}{2}} = x^{\frac{2n(n+1) - n(n+1)}{2}} = x^{\frac{n(n+1)}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{n(n+1)}{2}}$

662. Найдите:

а) сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 8,2; 7,4; … ;

б) сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –6,5; –6; … .

а) сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 8,2; 7,4; … ;

Для начала определим параметры данной арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = 8,2$. Второй член прогрессии $a_2 = 7,4$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 7,4 - 8,2 = -0,8$.

Чтобы найти сумму всех положительных членов, нам нужно определить, сколько членов в этой прогрессии являются положительными. Для этого решим неравенство $a_n > 0$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, который находится по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.

$8,2 + (n-1)(-0,8) > 0$

$8,2 - 0,8n + 0,8 > 0$

$9 - 0,8n > 0$

$9 > 0,8n$

$n < \frac{9}{0,8}$

$n < 11,25$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, то положительными будут члены с 1-го по 11-й включительно. Таким образом, в прогрессии 11 положительных членов.

Теперь нужно найти сумму этих 11 членов. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Сначала найдем последний положительный член, то есть $a_{11}$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d = 8,2 + 10 \cdot (-0,8) = 8,2 - 8 = 0,2$.

Теперь вычислим сумму $S_{11}$:

$S_{11} = \frac{a_1 + a_{11}}{2} \cdot 11 = \frac{8,2 + 0,2}{2} \cdot 11 = \frac{8,4}{2} \cdot 11 = 4,2 \cdot 11 = 46,2$.

Ответ: 46,2

б) сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –6,5; –6; … .

Определим параметры данной арифметической прогрессии. Первый член прогрессии $a_1 = -6,5$. Второй член прогрессии $a_2 = -6$.

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = -6 - (-6,5) = -6 + 6,5 = 0,5$.

Чтобы найти сумму всех отрицательных членов, определим, сколько членов в этой прогрессии являются отрицательными. Для этого решим неравенство $a_n < 0$.

$-6,5 + (n-1) \cdot 0,5 < 0$

$-6,5 + 0,5n - 0,5 < 0$

$-7 + 0,5n < 0$

$0,5n < 7$

$n < \frac{7}{0,5}$

$n < 14$

Следовательно, отрицательными будут члены с 1-го по 13-й включительно. Всего в прогрессии 13 отрицательных членов.

Теперь найдем сумму этих 13 членов. Воспользуемся формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Сначала найдем последний отрицательный член, то есть $a_{13}$:

$a_{13} = a_1 + (13-1)d = -6,5 + 12 \cdot 0,5 = -6,5 + 6 = -0,5$.

Теперь вычислим сумму $S_{13}$:

$S_{13} = \frac{a_1 + a_{13}}{2} \cdot 13 = \frac{-6,5 + (-0,5)}{2} \cdot 13 = \frac{-7}{2} \cdot 13 = -3,5 \cdot 13 = -45,5$.

Ответ: -45,5

663. Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых десяти её членов равна 100 и сумма первых тридцати её членов равна 900.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов.

По условию задачи дано, что сумма первых десяти членов равна 100, то есть $S_{10} = 100$. Подставим $n=10$ в формулу:
$S_{10} = \frac{2a_1 + d(10-1)}{2} \cdot 10 = 100$
$\frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 100$
$(2a_1 + 9d) \cdot 5 = 100$
$2a_1 + 9d = 20$

Также известно, что сумма первых тридцати членов равна 900, то есть $S_{30} = 900$. Подставим $n=30$ в формулу:
$S_{30} = \frac{2a_1 + d(30-1)}{2} \cdot 30 = 900$
$\frac{2a_1 + 29d}{2} \cdot 30 = 900$
$(2a_1 + 29d) \cdot 15 = 900$
$2a_1 + 29d = 60$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} 2a_1 + 9d = 20 \\ 2a_1 + 29d = 60 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность прогрессии $d$:
$(2a_1 + 29d) - (2a_1 + 9d) = 60 - 20$
$20d = 40$
$d = 2$
Теперь подставим найденное значение $d=2$ в первое уравнение системы, чтобы найти первый член прогрессии $a_1$:
$2a_1 + 9 \cdot 2 = 20$
$2a_1 + 18 = 20$
$2a_1 = 2$
$a_1 = 1$

Зная первый член $a_1 = 1$ и разность $d = 2$, мы можем найти сумму первых сорока членов прогрессии ($S_{40}$), подставив $n=40$ в исходную формулу:
$S_{40} = \frac{2a_1 + d(40-1)}{2} \cdot 40$
$S_{40} = \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot (39)}{2} \cdot 40$
$S_{40} = \frac{2 + 78}{2} \cdot 40$
$S_{40} = \frac{80}{2} \cdot 40$
$S_{40} = 40 \cdot 40 = 1600$

Ответ: 1600

664. Найдите пятидесятый член арифметической прогрессии, если:

а)

Чтобы найти пятидесятый член арифметической прогрессии $a_{50}$, нам нужно определить её первый член $a_1$ и разность $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Соответственно, для пятидесятого члена: $a_{50} = a_1 + 49d$.

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Используя данные из условия, $S_{20} = 1000$ и $S_{40} = 10000$, составим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $a_1$ и $d$.

1. Для $S_{20} = 1000$:

$S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20 = 1000$

$(2a_1 + 19d) \cdot 10 = 1000$

$2a_1 + 19d = 100$

2. Для $S_{40} = 10000$:

$S_{40} = \frac{2a_1 + (40-1)d}{2} \cdot 40 = 10000$

$(2a_1 + 39d) \cdot 20 = 10000$

$2a_1 + 39d = 500$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2a_1 + 19d = 100 \\ 2a_1 + 39d = 500 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(2a_1 + 39d) - (2a_1 + 19d) = 500 - 100$

$20d = 400$

$d = 20$

Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$2a_1 + 19(20) = 100$

$2a_1 + 380 = 100$

$2a_1 = 100 - 380$

$2a_1 = -280$

$a_1 = -140$

Теперь, зная $a_1$ и $d$, мы можем найти $a_{50}$:

$a_{50} = a_1 + 49d = -140 + 49 \cdot 20 = -140 + 980 = 840$.

Ответ: $840$.

б)

Аналогично пункту а), используем данные $S_5 = 0,5$ и $S_{15} = -81$ для составления системы уравнений, чтобы найти $a_1$ и $d$.

1. Для $S_5 = 0,5$:

$S_5 = \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = 0,5$

$\frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 0,5$

$(a_1 + 2d) \cdot 5 = 0,5$

$5a_1 + 10d = 0,5$

2. Для $S_{15} = -81$:

$S_{15} = \frac{2a_1 + (15-1)d}{2} \cdot 15 = -81$

$\frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = -81$

$(a_1 + 7d) \cdot 15 = -81$

$15a_1 + 105d = -81$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$5a_1 + 35d = -27$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 5a_1 + 10d = 0,5 \\ 5a_1 + 35d = -27 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:

$(5a_1 + 35d) - (5a_1 + 10d) = -27 - 0,5$

$25d = -27,5$

$d = \frac{-27,5}{25} = -1,1$

Теперь подставим значение $d$ в первое уравнение ($5a_1 + 10d = 0,5$), чтобы найти $a_1$:

$5a_1 + 10(-1,1) = 0,5$

$5a_1 - 11 = 0,5$

$5a_1 = 11,5$

$a_1 = \frac{11,5}{5} = 2,3$

Теперь, зная $a_1$ и $d$, мы можем найти $a_{50}$:

$a_{50} = a_1 + 49d = 2,3 + 49 \cdot (-1,1) = 2,3 - 53,9 = -51,6$.

Ответ: $-51,6$.

665. Запишите формулу суммы первых n членов последовательности (aₙ), если:

а) aₙ = 2n + 1;

б) aₙ = 3 – n.

а) Дана последовательность, где $n$-й член задается формулой $a_n = 2n + 1$.

Для того чтобы найти формулу суммы первых $n$ членов, сначала определим тип последовательности. Проверим, является ли она арифметической прогрессией, для этого найдем разность между последующим и предыдущим членами:

$d = a_{n+1} - a_n = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = (2n + 2 + 1) - (2n + 1) = 2n + 3 - 2n - 1 = 2$.

Поскольку разность $d$ является постоянной величиной, равной 2, данная последовательность — это арифметическая прогрессия.

Найдем первый член прогрессии:

$a_1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим известные значения $a_1 = 3$ и $a_n = 2n + 1$ в формулу:

$S_n = \frac{3 + (2n + 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 4}{2} \cdot n = (n + 2) \cdot n = n^2 + 2n$.

Ответ: $S_n = n(n+2)$

б) Дана последовательность, где $n$-й член задается формулой $a_n = 3 - n$.

Аналогично пункту а), определим тип последовательности. Найдем разность между соседними членами:

$d = a_{n+1} - a_n = (3 - (n+1)) - (3 - n) = (3 - n - 1) - (3 - n) = 2 - n - 3 + n = -1$.

Разность $d$ постоянна и равна -1, следовательно, это также арифметическая прогрессия.

Найдем ее первый член:

$a_1 = 3 - 1 = 2$.

Используем ту же формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим значения $a_1 = 2$ и $a_n = 3 - n$:

$S_n = \frac{2 + (3 - n)}{2} \cdot n = \frac{5 - n}{2} \cdot n = \frac{n(5-n)}{2}$.

Ответ: $S_n = \frac{n(5-n)}{2}$

666. Является ли последовательность (xₙ) арифметической прогрессией, если сумму первых n её членов можно найти по формуле Sₙ = n² – 8n? Найдите пятый член этой последовательности.

Является ли последовательность (x_n) арифметической прогрессией?

Чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, нужно найти формулу для её n-го члена $x_n$ и проверить, является ли разность между соседними членами постоянной величиной (эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$).

N-й член последовательности можно найти по формуле $x_n = S_n - S_{n-1}$ для $n \geq 2$, где $S_n$ — сумма первых $n$ членов. Первый член последовательности равен $x_1 = S_1$.

По условию, формула для суммы первых $n$ членов такова: $S_n = n^2 - 8n$.

1. Найдём первый член последовательности $x_1$: $x_1 = S_1 = 1^2 - 8 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

2. Найдём формулу для n-го члена $x_n$ при $n \geq 2$. Для этого сначала найдём $S_{n-1}$: $S_{n-1} = (n-1)^2 - 8(n-1) = (n^2 - 2n + 1) - (8n - 8) = n^2 - 10n + 9$.

Теперь вычислим $x_n$: $x_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - 8n) - (n^2 - 10n + 9) = n^2 - 8n - n^2 + 10n - 9 = 2n - 9$.

3. Проверим, работает ли полученная формула $x_n = 2n - 9$ для $n=1$: $x_1 = 2 \cdot 1 - 9 = -7$. Значение совпадает со значением, вычисленным через $S_1$. Следовательно, формула $x_n = 2n - 9$ верна для всех натуральных $n$.

4. Теперь проверим, является ли разность $d = x_{n+1} - x_n$ постоянной: $x_{n+1} = 2(n+1) - 9 = 2n + 2 - 9 = 2n - 7$. $d = x_{n+1} - x_n = (2n - 7) - (2n - 9) = 2n - 7 - 2n + 9 = 2$.

Разность между любым последующим и предыдущим членами последовательности постоянна и равна 2. Это означает, что последовательность $(x_n)$ является арифметической прогрессией с первым членом $x_1 = -7$ и разностью $d=2$.

Ответ: да, является.

Найдите пятый член этой последовательности.

Для нахождения пятого члена последовательности можно воспользоваться выведенной ранее формулой n-го члена $x_n = 2n - 9$.

Подставим в эту формулу значение $n=5$: $x_5 = 2 \cdot 5 - 9 = 10 - 9 = 1$.

Также пятый член можно найти, используя исходную формулу для суммы $S_n$ и соотношение $x_5 = S_5 - S_4$:

$S_5 = 5^2 - 8 \cdot 5 = 25 - 40 = -15$.

$S_4 = 4^2 - 8 \cdot 4 = 16 - 32 = -16$.

$x_5 = S_5 - S_4 = -15 - (-16) = -15 + 16 = 1$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 1.

667. Является ли последовательность (xₙ) арифметической прогрессией, если сумма первых n её членов может быть найдена по формуле:

Чтобы определить, является ли последовательность $(x_n)$ арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между её соседними членами постоянной величиной. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается $d$. То есть, для всех натуральных $n$ должно выполняться равенство $x_{n+1} - x_n = d$.

Зная формулу для суммы первых $n$ членов $S_n$, мы можем найти любой член последовательности. Первый член $x_1$ равен $S_1$. Для $n \ge 2$ n-й член последовательности можно найти по формуле $x_n = S_n - S_{n-1}$.

Воспользуемся этим методом для каждого случая.

а) $S_n = -n^2 + 3n$

Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = -(1)^2 + 3(1) = -1 + 3 = 2$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = -(2)^2 + 3(2) = -4 + 6 = 2$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 2 - 2 = 0$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = -(3)^2 + 3(3) = -9 + 9 = 0$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 0 - 2 = -2$.

Последовательность начинается с членов $2, 0, -2, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 0 - 2 = -2$.
$d_2 = x_3 - x_2 = -2 - 0 = -2$.

Можно также найти общую формулу для $n$-го члена. Для $n \ge 2$:
$x_n = S_n - S_{n-1} = (-n^2 + 3n) - (-(n-1)^2 + 3(n-1))$
$x_n = (-n^2 + 3n) - (-(n^2 - 2n + 1) + 3n - 3)$
$x_n = (-n^2 + 3n) - (-n^2 + 2n - 1 + 3n - 3)$
$x_n = (-n^2 + 3n) - (-n^2 + 5n - 4) = -n^2 + 3n + n^2 - 5n + 4 = 4 - 2n$.
Эта формула верна и для $n=1$, так как $x_1 = 4 - 2(1) = 2$.
Разность прогрессии: $d = x_{n+1} - x_n = (4 - 2(n+1)) - (4 - 2n) = 4 - 2n - 2 - 4 + 2n = -2$.
Разность постоянна и равна $-2$. Следовательно, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: да.

б) $S_n = 2n^2 - 1$

Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = 2(1)^2 - 1 = 1$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = 2(2)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 7$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 7 - 1 = 6$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 2(3)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 17$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 17 - 7 = 10$.

Последовательность начинается с членов $1, 6, 10, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 1 = 5$.
$d_2 = x_3 - x_2 = 10 - 6 = 4$.

Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.

в) $S_n = n^2 + 2n - 8$

Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = 2^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 0 - (-5) = 5$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 7 - 0 = 7$.

Последовательность начинается с членов $-5, 5, 7, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 5 - (-5) = 10$.
$d_2 = x_3 - x_2 = 7 - 5 = 2$.

Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.

г) $S_n = 6n + 5$

Найдем несколько первых членов последовательности.
Первый член: $x_1 = S_1 = 6(1) + 5 = 11$.
Сумма первых двух членов: $S_2 = 6(2) + 5 = 12 + 5 = 17$.
Второй член: $x_2 = S_2 - S_1 = 17 - 11 = 6$.
Сумма первых трех членов: $S_3 = 6(3) + 5 = 18 + 5 = 23$.
Третий член: $x_3 = S_3 - S_2 = 23 - 17 = 6$.

Последовательность начинается с членов $11, 6, 6, \ldots$.
Проверим разность между соседними членами:
$d_1 = x_2 - x_1 = 6 - 11 = -5$.
$d_2 = x_3 - x_2 = 6 - 6 = 0$.

Так как $d_1 \neq d_2$, разность между членами не является постоянной. Следовательно, последовательность не является арифметической прогрессией.
Ответ: нет.