Страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

641. Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон?

Пусть длины сторон треугольника $a_1$, $a_2$, $a_3$ образуют арифметическую прогрессию. Для удобства представим эти длины в виде $a - d$, $a$, $a + d$, где $a$ – средний член прогрессии, а $d$ – её разность.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = (a - d) + a + (a + d)$

Упростив выражение, получим: $P = 3a$

По условию задачи, периметр равен 24 см. Подставим это значение в формулу: $24 = 3a$

Отсюда можно найти значение $a$: $a = \frac{24}{3} = 8$ см.

Таким образом, мы однозначно определили, что длина одной из сторон треугольника (средней по величине) всегда равна 8 см.

Ответ: Да, можно определить. Длина одной из сторон равна 8 см.

Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Мы установили, что стороны треугольника имеют длины $8 - d$, $8$, $8 + d$. Поскольку длины сторон должны быть выражены целыми числами, а 8 уже является целым числом, то разность прогрессии $d$ также должна быть целым числом.

Для существования треугольника с такими сторонами должны выполняться два условия: 1. Длина каждой стороны должна быть положительной. 2. Должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Из первого условия (положительность сторон), предположив для удобства $d \ge 0$ (отрицательные значения $d$ дадут тот же набор сторон, но в другом порядке), получаем, что наименьшая сторона $8 - d$ должна быть больше нуля: $8 - d > 0 \implies d < 8$

Теперь проверим неравенство треугольника. Достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше самой большой: $(8 - d) + 8 > 8 + d$
$16 - d > 8 + d$
$8 > 2d$
$d < 4$

Мы получили два ограничения для целого неотрицательного числа $d$: $d < 8$ и $d < 4$. Наиболее строгим из них является $d < 4$. Учитывая, что $d$ — целое и неотрицательное число ($d \ge 0$), возможные значения для $d$: 0, 1, 2, 3.

Рассмотрим все возможные наборы сторон для этих значений $d$. При $d = 0$ стороны равны $8, 8, 8$. При $d = 1$ стороны равны $7, 8, 9$. При $d = 2$ стороны равны $6, 8, 10$. При $d = 3$ стороны равны $5, 8, 11$.

Если бы мы взяли $d=4$, стороны были бы (4, 8, 12), но $4+8=12$, что противоречит неравенству треугольника (треугольник вырождается в отрезок).

Ответ: Длины сторон треугольника могут принимать следующие наборы целых значений (в см): (8, 8, 8); (7, 8, 9); (6, 8, 10); (5, 8, 11).

642. Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что один из них равен 60°.

Пусть три угла треугольника образуют арифметическую прогрессию. Обозначим эти углы как $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$.

По свойству арифметической прогрессии, мы можем представить эти три угла через средний член прогрессии $a$ и ее разность $d$. Тогда углы треугольника будут равны:
$a - d$, $a$, $a + d$.

Известно, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Используя это свойство, составим уравнение:
$(a - d) + a + (a + d) = 180^\circ$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Обратим внимание, что члены, содержащие разность прогрессии $d$, взаимно уничтожаются:
$a - d + a + a + d = 180^\circ$
$3a = 180^\circ$

Отсюда находим значение среднего угла $a$:
$a = \frac{180^\circ}{3}$
$a = 60^\circ$

Таким образом, мы доказали, что один из углов треугольника, а именно средний по величине угол в арифметической прогрессии, всегда равен $60^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если углы треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из них обязательно равен $60^\circ$.

643. Верно ли утверждение, что если (aₙ) — арифметическая прогрессия, то:

а) последовательность a₂; a₄; … ; a₂ₙ; … является арифметической прогрессией;

б) последовательность a₁ – 1; a₂ – 1; … ; aₙ – 1; … является арифметической прогрессией;

в) последовательность 2a₁; 2a₂; … ; 2aₙ; … является арифметической прогрессией;

г) последовательность a₁²; a²₂; … ; aₙ²; … является арифметической прогрессией?

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.Это означает, что для любого натурального $n$ выполняется равенство $a_{n+1} = a_n + d$.Общий член прогрессии можно найти по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$.Проверим утверждения для каждой из предложенных последовательностей.

а) последовательность $a_2; a_4; \dots; a_{2n}; \dots$ является арифметической прогрессией;

Рассмотрим новую последовательность $(b_n)$, где $n$-й член $b_n = a_{2n}$. Чтобы проверить, является ли она арифметической прогрессией, нужно найти разность между её соседними членами $b_{n+1}$ и $b_n$ и убедиться, что она постоянна.

$b_{n+1} - b_n = a_{2(n+1)} - a_{2n} = a_{2n+2} - a_{2n}$.

Используя формулу общего члена для исходной прогрессии $(a_n)$:

$a_{2n+2} = a_1 + (2n+2-1)d = a_1 + (2n+1)d$

$a_{2n} = a_1 + (2n-1)d$

Вычислим их разность:

$a_{2n+2} - a_{2n} = (a_1 + (2n+1)d) - (a_1 + (2n-1)d) = a_1 + 2nd + d - a_1 - 2nd + d = 2d$.

Разность новой последовательности равна $2d$. Так как $d$ — это постоянное число (разность исходной прогрессии), то $2d$ также является постоянной величиной, не зависящей от $n$. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, верно.

б) последовательность $a_1 - 1; a_2 - 1; \dots; a_n - 1; \dots$ является арифметической прогрессией;

Рассмотрим последовательность $(c_n)$, где $c_n = a_n - 1$. Найдем разность между соседними членами:

$c_{n+1} - c_n = (a_{n+1} - 1) - (a_n - 1) = a_{n+1} - 1 - a_n + 1 = a_{n+1} - a_n$.

По определению арифметической прогрессии $(a_n)$, разность $a_{n+1} - a_n = d$ является постоянной.

Следовательно, последовательность $(a_n - 1)$ является арифметической прогрессией с той же разностью $d$.

Ответ: да, верно.

в) последовательность $2a_1; 2a_2; \dots; 2a_n; \dots$ является арифметической прогрессией;

Рассмотрим последовательность $(k_n)$, где $k_n = 2a_n$. Найдем разность между соседними членами:

$k_{n+1} - k_n = 2a_{n+1} - 2a_n = 2(a_{n+1} - a_n)$.

Так как $a_{n+1} - a_n = d$ (константа), то разность для новой последовательности равна $2d$, что также является постоянной величиной.

Следовательно, последовательность $(2a_n)$ является арифметической прогрессией с разностью $2d$.

Ответ: да, верно.

г) последовательность $a_1^2; a_2^2; \dots; a_n^2; \dots$ является арифметической прогрессией?

Рассмотрим последовательность $(p_n)$, где $p_n = a_n^2$. Найдем разность между соседними членами:

$p_{n+1} - p_n = a_{n+1}^2 - a_n^2$.

Используя свойство $a_{n+1} = a_n + d$, получим:

$p_{n+1} - p_n = (a_n + d)^2 - a_n^2 = (a_n^2 + 2a_nd + d^2) - a_n^2 = 2a_nd + d^2 = d(2a_n + d)$.

Эта разность зависит от $a_n$, а значит, и от номера члена $n$ (поскольку $a_n = a_1 + (n-1)d$). Следовательно, в общем случае она не является постоянной. Разность будет постоянной только если $d=0$ (т.е. исходная последовательность постоянна) или если $a_n$ не зависит от $n$, что опять же означает $d=0$.

Чтобы показать, что утверждение неверно в общем случае, достаточно привести контрпример. Пусть $(a_n)$ — последовательность натуральных чисел: $1, 2, 3, 4, \dots$. Это арифметическая прогрессия с $a_1=1$ и $d=1$.

Тогда последовательность $(a_n^2)$ будет: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, \dots$, то есть $1, 4, 9, 16, \dots$.

Найдем разности между ее членами:
$p_2 - p_1 = 4 - 1 = 3$
$p_3 - p_2 = 9 - 4 = 5$
$p_4 - p_3 = 16 - 9 = 7$

Разности не равны между собой ($3 \neq 5 \neq 7$), значит, эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет, в общем случае неверно.

644. Последовательность (aₙ) — арифметическая прогрессия. Найдите:

а)

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена.

В данном случае нам нужно найти двенадцатый член прогрессии, $a_{12}$.

Дано: $a_1 = 9\sqrt{3} - 2$, $d = 2 - \sqrt{3}$ и $n = 12$.

Подставим значения в формулу:

$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$

$a_{12} = (9\sqrt{3} - 2) + 11(2 - \sqrt{3})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_{12} = 9\sqrt{3} - 2 + 11 \cdot 2 - 11 \cdot \sqrt{3}$

$a_{12} = 9\sqrt{3} - 2 + 22 - 11\sqrt{3}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$a_{12} = (9\sqrt{3} - 11\sqrt{3}) + (-2 + 22)$

$a_{12} = -2\sqrt{3} + 20$

Ответ: $a_{12} = 20 - 2\sqrt{3}$.

б)

Используем ту же формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

В этом случае нам нужно найти восьмой член прогрессии, $a_8$.

Дано: $a_1 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3}$, $d = \frac{\sqrt{3} - 2}{3}$ и $n = 8$.

Подставим значения в формулу:

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

$a_8 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3} + 7 \cdot \left(\frac{\sqrt{3} - 2}{3}\right)$

Упростим второе слагаемое:

$a_8 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3} + \frac{7(\sqrt{3} - 2)}{3}$

$a_8 = \frac{5\sqrt{3} - 7}{3} + \frac{7\sqrt{3} - 14}{3}$

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители:

$a_8 = \frac{(5\sqrt{3} - 7) + (7\sqrt{3} - 14)}{3}$

Сгруппируем подобные слагаемые в числителе:

$a_8 = \frac{(5\sqrt{3} + 7\sqrt{3}) + (-7 - 14)}{3}$

$a_8 = \frac{12\sqrt{3} - 21}{3}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$a_8 = \frac{12\sqrt{3}}{3} - \frac{21}{3}$

$a_8 = 4\sqrt{3} - 7$

Ответ: $a_8 = 4\sqrt{3} - 7$.

645. Найдите номер члена арифметической прогрессии (aₙ):

а) равного –2,94, если a₁ = 1,26 и d = –0,3;

б) равного –9,7, если a₅ = –3,7 и d = –0,6.

а) Для нахождения номера члена арифметической прогрессии воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n - 1)d$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена.
По условию задачи имеем: $a_n = -2,94$, $a_1 = 1,26$ и $d = -0,3$.
Подставим известные значения в формулу:
$-2,94 = 1,26 + (n - 1) \cdot (-0,3)$
Теперь решим полученное уравнение относительно $n$:
$(n - 1) \cdot (-0,3) = -2,94 - 1,26$
$(n - 1) \cdot (-0,3) = -4,2$
$n - 1 = \frac{-4,2}{-0,3}$
$n - 1 = 14$
$n = 14 + 1$
$n = 15$
Ответ: 15.

б) В этом случае нам дан пятый член прогрессии $a_5 = -3,7$, разность $d = -0,6$, и нужно найти номер члена $a_n = -9,7$.
Сначала найдем первый член прогрессии $a_1$. Воспользуемся формулой n-го члена для $a_5$:
$a_5 = a_1 + (5 - 1)d$
Подставим известные значения $a_5$ и $d$:
$-3,7 = a_1 + 4 \cdot (-0,6)$
$-3,7 = a_1 - 2,4$
$a_1 = -3,7 + 2,4$
$a_1 = -1,3$
Теперь, зная $a_1$, мы можем найти номер $n$ для члена $a_n = -9,7$, используя основную формулу $a_n = a_1 + (n - 1)d$:
$-9,7 = -1,3 + (n - 1) \cdot (-0,6)$
Решим это уравнение относительно $n$:
$(n - 1) \cdot (-0,6) = -9,7 - (-1,3)$
$(n - 1) \cdot (-0,6) = -9,7 + 1,3$
$(n - 1) \cdot (-0,6) = -8,4$
$n - 1 = \frac{-8,4}{-0,6}$
$n - 1 = 14$
$n = 14 + 1$
$n = 15$
Ответ: 15.

646. Дана арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2$\frac{3}{4}$, а разность равна $\frac{2}{5}$. Является ли членом этой прогрессии число:

а) 14$\frac{3}{4}$;

б) 8,35?

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Число является членом прогрессии, если для него можно найти такой номер $n$, который является натуральным числом (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$).

В данной прогрессии первый член $a_1 = 2\frac{3}{4}$ и разность $d = \frac{2}{5}$. Для удобства вычислений переведем эти числа в десятичные дроби: $a_1 = 2\frac{3}{4} = 2.75$ $d = \frac{2}{5} = 0.4$

а) Проверим, является ли число $14\frac{3}{4}$ членом прогрессии.

Пусть искомый член прогрессии $a_n = 14\frac{3}{4}$. Переведем это число в десятичную дробь: $a_n = 14.75$. Подставим все известные значения в формулу: $14.75 = 2.75 + (n-1) \cdot 0.4$ Теперь решим это уравнение относительно $n$: $14.75 - 2.75 = (n-1) \cdot 0.4$ $12 = (n-1) \cdot 0.4$ $n-1 = \frac{12}{0.4} = \frac{120}{4}$ $n-1 = 30$ $n = 31$

Поскольку мы получили натуральное число $n=31$, число $14\frac{3}{4}$ является 31-м членом данной прогрессии.
Ответ: да, является.

б) Проверим, является ли число 8,35 членом прогрессии.

Пусть искомый член прогрессии $a_n = 8.35$. Подставим значения в ту же формулу: $8.35 = 2.75 + (n-1) \cdot 0.4$ Решим уравнение относительно $n$: $8.35 - 2.75 = (n-1) \cdot 0.4$ $5.6 = (n-1) \cdot 0.4$ $n-1 = \frac{5.6}{0.4} = \frac{56}{4}$ $n-1 = 14$ $n = 15$

Поскольку мы получили натуральное число $n=15$, число 8,35 является 15-м членом данной прогрессии.
Ответ: да, является.

647. Найдите:

а) первый положительный член арифметической прогрессии

б) первый отрицательный член арифметической прогрессии

а) Найдём первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = -10\frac{1}{2}$.

Второй член прогрессии $a_2 = -10\frac{1}{4}$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна разности между последующим и предыдущим членами:

$d = a_2 - a_1 = -10\frac{1}{4} - (-10\frac{1}{2}) = -10\frac{1}{4} + 10\frac{2}{4} = \frac{1}{4}$.

Нам нужно найти первый положительный член прогрессии, то есть найти наименьший номер $n$, для которого $a_n > 0$.

Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Составим и решим неравенство:

$a_1 + (n-1)d > 0$

$-10\frac{1}{2} + (n-1)\frac{1}{4} > 0$

$(n-1)\frac{1}{4} > 10\frac{1}{2}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$.

$(n-1)\frac{1}{4} > \frac{21}{2}$

Умножим обе части неравенства на 4:

$n-1 > \frac{21}{2} \cdot 4$

$n-1 > 42$

$n > 43$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=44$. Следовательно, 44-й член прогрессии является первым положительным членом.

Найдём значение этого члена:

$a_{44} = a_1 + (44-1)d = -10\frac{1}{2} + 43 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{21}{2} + \frac{43}{4} = -\frac{42}{4} + \frac{43}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Найдём первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 8\frac{1}{2}$.

Второй член прогрессии $a_2 = 8\frac{1}{3}$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна:

$d = a_2 - a_1 = 8\frac{1}{3} - 8\frac{1}{2}$.

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

$d = 8\frac{2}{6} - 8\frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$.

Нам нужно найти первый отрицательный член прогрессии, то есть найти наименьший номер $n$, для которого $a_n < 0$.

Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Составим и решим неравенство:

$a_1 + (n-1)d < 0$

$8\frac{1}{2} + (n-1)(-\frac{1}{6}) < 0$

$8\frac{1}{2} < (n-1)\frac{1}{6}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $8\frac{1}{2} = \frac{17}{2}$.

$\frac{17}{2} < \frac{n-1}{6}$

Умножим обе части неравенства на 6:

$\frac{17}{2} \cdot 6 < n-1$

$17 \cdot 3 < n-1$

$51 < n-1$

$52 < n$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=53$. Следовательно, 53-й член прогрессии является первым отрицательным членом.

Найдём значение этого члена:

$a_{53} = a_1 + (53-1)d = 8\frac{1}{2} + 52 \cdot (-\frac{1}{6}) = \frac{17}{2} - \frac{52}{6} = \frac{17 \cdot 3}{6} - \frac{52}{6} = \frac{51}{6} - \frac{52}{6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

648. Докажите, что если (yₙ) — арифметическая прогрессия, то:

а)

Для доказательства воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии. Пусть $(y_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $y_1$ и разностью $d$. Тогда любой член прогрессии можно выразить формулой: $y_n = y_1 + (n-1)d$.

Преобразуем левую часть доказываемого равенства $y_2 + y_7$:
$y_2 = y_1 + (2-1)d = y_1 + d$
$y_7 = y_1 + (7-1)d = y_1 + 6d$
Сложив эти выражения, получим:
$y_2 + y_7 = (y_1 + d) + (y_1 + 6d) = 2y_1 + 7d$.

Теперь преобразуем правую часть равенства $y_4 + y_5$:
$y_4 = y_1 + (4-1)d = y_1 + 3d$
$y_5 = y_1 + (5-1)d = y_1 + 4d$
Сложив эти выражения, получим:
$y_4 + y_5 = (y_1 + 3d) + (y_1 + 4d) = 2y_1 + 7d$.

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению ($2y_1 + 7d$), то равенство $y_2 + y_7 = y_4 + y_5$ является верным.

Также можно воспользоваться свойством арифметической прогрессии: если сумма индексов двух членов равна сумме индексов двух других членов, то и суммы самих членов равны. В данном случае, $2 + 7 = 9$ и $4 + 5 = 9$, следовательно, $y_2 + y_7 = y_4 + y_5$.

Ответ: что и требовалось доказать.

б)

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Используем ту же формулу n-го члена арифметической прогрессии $y_k = y_1 + (k-1)d$. Условие $n > 5$ (т.е. $n \ge 6$) гарантирует, что все индексы в выражении являются натуральными числами, так как наименьший индекс $n-5$ будет не меньше, чем $6-5=1$.

Преобразуем левую часть доказываемого равенства $y_{n-5} + y_{n+10}$:
$y_{n-5} = y_1 + ((n-5)-1)d = y_1 + (n-6)d$
$y_{n+10} = y_1 + ((n+10)-1)d = y_1 + (n+9)d$
Следовательно:
$y_{n-5} + y_{n+10} = (y_1 + (n-6)d) + (y_1 + (n+9)d) = 2y_1 + (2n+3)d$.

Теперь преобразуем правую часть равенства $y_n + y_{n+5}$:
$y_n = y_1 + (n-1)d$
$y_{n+5} = y_1 + ((n+5)-1)d = y_1 + (n+4)d$
Следовательно:
$y_n + y_{n+5} = (y_1 + (n-1)d) + (y_1 + (n+4)d) = 2y_1 + (2n+3)d$.

Так как левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению ($2y_1 + (2n+3)d$), то равенство $y_{n-5} + y_{n+10} = y_n + y_{n+5}$ верно.

Проверим также по свойству суммы индексов. Сумма индексов в левой части: $(n-5) + (n+10) = 2n+5$. Сумма индексов в правой части: $n + (n+5) = 2n+5$. Так как суммы индексов равны, то и равенство сумм членов прогрессии является верным.

Ответ: что и требовалось доказать.