Номер 641, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Дополнительные упражнения к главе 5 - номер 641, страница 183.

Условие.

641. Периметр треугольника равен 24 см, причём длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон? Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Можно ли определить длину хотя бы одной из сторон?

Пусть длины сторон треугольника $a_1$, $a_2$, $a_3$ образуют арифметическую прогрессию. Для удобства представим эти длины в виде $a - d$, $a$, $a + d$, где $a$ – средний член прогрессии, а $d$ – её разность.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = (a - d) + a + (a + d)$

Упростив выражение, получим: $P = 3a$

По условию задачи, периметр равен 24 см. Подставим это значение в формулу: $24 = 3a$

Отсюда можно найти значение $a$: $a = \frac{24}{3} = 8$ см.

Таким образом, мы однозначно определили, что длина одной из сторон треугольника (средней по величине) всегда равна 8 см.

Ответ: Да, можно определить. Длина одной из сторон равна 8 см.

Какие целые значения могут принимать длины сторон треугольника, выраженные в сантиметрах?

Мы установили, что стороны треугольника имеют длины $8 - d$, $8$, $8 + d$. Поскольку длины сторон должны быть выражены целыми числами, а 8 уже является целым числом, то разность прогрессии $d$ также должна быть целым числом.

Для существования треугольника с такими сторонами должны выполняться два условия: 1. Длина каждой стороны должна быть положительной. 2. Должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Из первого условия (положительность сторон), предположив для удобства $d \ge 0$ (отрицательные значения $d$ дадут тот же набор сторон, но в другом порядке), получаем, что наименьшая сторона $8 - d$ должна быть больше нуля: $8 - d > 0 \implies d < 8$

Теперь проверим неравенство треугольника. Достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше самой большой: $(8 - d) + 8 > 8 + d$
$16 - d > 8 + d$
$8 > 2d$
$d < 4$

Мы получили два ограничения для целого неотрицательного числа $d$: $d < 8$ и $d < 4$. Наиболее строгим из них является $d < 4$. Учитывая, что $d$ — целое и неотрицательное число ($d \ge 0$), возможные значения для $d$: 0, 1, 2, 3.

Рассмотрим все возможные наборы сторон для этих значений $d$. При $d = 0$ стороны равны $8, 8, 8$. При $d = 1$ стороны равны $7, 8, 9$. При $d = 2$ стороны равны $6, 8, 10$. При $d = 3$ стороны равны $5, 8, 11$.

Если бы мы взяли $d=4$, стороны были бы (4, 8, 12), но $4+8=12$, что противоречит неравенству треугольника (треугольник вырождается в отрезок).

Ответ: Длины сторон треугольника могут принимать следующие наборы целых значений (в см): (8, 8, 8); (7, 8, 9); (6, 8, 10); (5, 8, 11).