Номер 648, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 648, страница 183.

Условие.

648. Докажите, что если (yₙ) — арифметическая прогрессия, то:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для доказательства воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии. Пусть $(y_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $y_1$ и разностью $d$. Тогда любой член прогрессии можно выразить формулой: $y_n = y_1 + (n-1)d$.

Преобразуем левую часть доказываемого равенства $y_2 + y_7$:
$y_2 = y_1 + (2-1)d = y_1 + d$
$y_7 = y_1 + (7-1)d = y_1 + 6d$
Сложив эти выражения, получим:
$y_2 + y_7 = (y_1 + d) + (y_1 + 6d) = 2y_1 + 7d$.

Теперь преобразуем правую часть равенства $y_4 + y_5$:
$y_4 = y_1 + (4-1)d = y_1 + 3d$
$y_5 = y_1 + (5-1)d = y_1 + 4d$
Сложив эти выражения, получим:
$y_4 + y_5 = (y_1 + 3d) + (y_1 + 4d) = 2y_1 + 7d$.

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению ($2y_1 + 7d$), то равенство $y_2 + y_7 = y_4 + y_5$ является верным.

Также можно воспользоваться свойством арифметической прогрессии: если сумма индексов двух членов равна сумме индексов двух других членов, то и суммы самих членов равны. В данном случае, $2 + 7 = 9$ и $4 + 5 = 9$, следовательно, $y_2 + y_7 = y_4 + y_5$.

Ответ: что и требовалось доказать.

б)

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Используем ту же формулу n-го члена арифметической прогрессии $y_k = y_1 + (k-1)d$. Условие $n > 5$ (т.е. $n \ge 6$) гарантирует, что все индексы в выражении являются натуральными числами, так как наименьший индекс $n-5$ будет не меньше, чем $6-5=1$.

Преобразуем левую часть доказываемого равенства $y_{n-5} + y_{n+10}$:
$y_{n-5} = y_1 + ((n-5)-1)d = y_1 + (n-6)d$
$y_{n+10} = y_1 + ((n+10)-1)d = y_1 + (n+9)d$
Следовательно:
$y_{n-5} + y_{n+10} = (y_1 + (n-6)d) + (y_1 + (n+9)d) = 2y_1 + (2n+3)d$.

Теперь преобразуем правую часть равенства $y_n + y_{n+5}$:
$y_n = y_1 + (n-1)d$
$y_{n+5} = y_1 + ((n+5)-1)d = y_1 + (n+4)d$
Следовательно:
$y_n + y_{n+5} = (y_1 + (n-1)d) + (y_1 + (n+4)d) = 2y_1 + (2n+3)d$.

Так как левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению ($2y_1 + (2n+3)d$), то равенство $y_{n-5} + y_{n+10} = y_n + y_{n+5}$ верно.

Проверим также по свойству суммы индексов. Сумма индексов в левой части: $(n-5) + (n+10) = 2n+5$. Сумма индексов в правой части: $n + (n+5) = 2n+5$. Так как суммы индексов равны, то и равенство сумм членов прогрессии является верным.

Ответ: что и требовалось доказать.