Номер 649, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 649, страница 184.

Условие.

649. Докажите, что если d — разность арифметической прогрессии, а xₘ и xₙ — члены этой прогрессии, причём m ≠ n, то d =$\frac{x_{m-}{x}_n}{m-n}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(x_k)$, где $k$ - номер члена прогрессии. Пусть $x_1$ — её первый член, а $d$ — её разность.

Формула для нахождения любого члена арифметической прогрессии с номером $k$ имеет вид:
$x_k = x_1 + (k - 1)d$

Воспользуемся этой формулой для того, чтобы выразить члены прогрессии $x_m$ и $x_n$:
$x_m = x_1 + (m - 1)d$ (1)
$x_n = x_1 + (n - 1)d$ (2)

Чтобы найти связь между $x_m$, $x_n$ и $d$, вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
$x_m - x_n = (x_1 + (m - 1)d) - (x_1 + (n - 1)d)$

Раскроем скобки в правой части полученного равенства:
$x_m - x_n = x_1 + md - d - x_1 - nd + d$

Сократим подобные члены ($x_1$ и $-x_1$, а также $-d$ и $+d$):
$x_m - x_n = md - nd$

В правой части вынесем общий множитель $d$ за скобки:
$x_m - x_n = (m - n)d$

Согласно условию задачи, номера членов $m$ и $n$ не равны, то есть $m \neq n$. Это означает, что разность $m - n \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(m - n)$, чтобы выразить $d$:
$d = \frac{x_m - x_n}{m - n}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Утверждение $d = \frac{x_m - x_n}{m - n}$ доказано.