Номер 647, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 5. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 647, страница 183.

Условие.

647. Найдите:

а) первый положительный член арифметической прогрессии

б) первый отрицательный член арифметической прогрессии

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Найдём первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = -10\frac{1}{2}$.

Второй член прогрессии $a_2 = -10\frac{1}{4}$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна разности между последующим и предыдущим членами:

$d = a_2 - a_1 = -10\frac{1}{4} - (-10\frac{1}{2}) = -10\frac{1}{4} + 10\frac{2}{4} = \frac{1}{4}$.

Нам нужно найти первый положительный член прогрессии, то есть найти наименьший номер $n$, для которого $a_n > 0$.

Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Составим и решим неравенство:

$a_1 + (n-1)d > 0$

$-10\frac{1}{2} + (n-1)\frac{1}{4} > 0$

$(n-1)\frac{1}{4} > 10\frac{1}{2}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $10\frac{1}{2} = \frac{21}{2}$.

$(n-1)\frac{1}{4} > \frac{21}{2}$

Умножим обе части неравенства на 4:

$n-1 > \frac{21}{2} \cdot 4$

$n-1 > 42$

$n > 43$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=44$. Следовательно, 44-й член прогрессии является первым положительным членом.

Найдём значение этого члена:

$a_{44} = a_1 + (44-1)d = -10\frac{1}{2} + 43 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{21}{2} + \frac{43}{4} = -\frac{42}{4} + \frac{43}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Найдём первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1 = 8\frac{1}{2}$.

Второй член прогрессии $a_2 = 8\frac{1}{3}$.

Разность арифметической прогрессии $d$ равна:

$d = a_2 - a_1 = 8\frac{1}{3} - 8\frac{1}{2}$.

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

$d = 8\frac{2}{6} - 8\frac{3}{6} = -\frac{1}{6}$.

Нам нужно найти первый отрицательный член прогрессии, то есть найти наименьший номер $n$, для которого $a_n < 0$.

Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Составим и решим неравенство:

$a_1 + (n-1)d < 0$

$8\frac{1}{2} + (n-1)(-\frac{1}{6}) < 0$

$8\frac{1}{2} < (n-1)\frac{1}{6}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь: $8\frac{1}{2} = \frac{17}{2}$.

$\frac{17}{2} < \frac{n-1}{6}$

Умножим обе части неравенства на 6:

$\frac{17}{2} \cdot 6 < n-1$

$17 \cdot 3 < n-1$

$51 < n-1$

$52 < n$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=53$. Следовательно, 53-й член прогрессии является первым отрицательным членом.

Найдём значение этого члена:

$a_{53} = a_1 + (53-1)d = 8\frac{1}{2} + 52 \cdot (-\frac{1}{6}) = \frac{17}{2} - \frac{52}{6} = \frac{17 \cdot 3}{6} - \frac{52}{6} = \frac{51}{6} - \frac{52}{6} = -\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$.