Номер 638, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Дополнительные упражнения к главе 5 - номер 638, страница 182.

Условие.

638. Задайте формулой n-го члена последовательность (aₙ), если:

а) (aₙ) — последовательность натуральных чисел, кратных 5;

б) (aₙ) — последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Требуется задать формулу для последовательности $(a_n)$, которая является последовательностью натуральных чисел, кратных 5.

Выпишем первые несколько членов этой последовательности:

• Первый член ($n=1$): первое натуральное число, кратное 5, это 5. $a_1 = 5$.
• Второй член ($n=2$): второе натуральное число, кратное 5, это 10. $a_2 = 10$.
• Третий член ($n=3$): третье натуральное число, кратное 5, это 15. $a_3 = 15$.
• Четвертый член ($n=4$): четвертое натуральное число, кратное 5, это 20. $a_4 = 20$.

Заметим, что каждый член последовательности получается умножением его порядкового номера $n$ на число 5. То есть, $a_1 = 5 \cdot 1$, $a_2 = 5 \cdot 2$, $a_3 = 5 \cdot 3$, и так далее. Следовательно, формула для $n$-го члена последовательности имеет вид:

$a_n = 5n$

Ответ: $a_n = 5n$.

б)

Требуется задать формулу для последовательности $(a_n)$, которая является последовательностью натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

Выпишем первые несколько членов этой последовательности:

• Первый член ($n=1$): наименьшее натуральное число, дающее остаток 1 при делении на 5, это 1. ($1 = 5 \cdot 0 + 1$). $a_1 = 1$.
• Второй член ($n=2$): следующее такое число — 6. ($6 = 5 \cdot 1 + 1$). $a_2 = 6$.
• Третий член ($n=3$): следующее число — 11. ($11 = 5 \cdot 2 + 1$). $a_3 = 11$.
• Четвертый член ($n=4$): следующее число — 16. ($16 = 5 \cdot 3 + 1$). $a_4 = 16$.

Данная последовательность 1, 6, 11, 16, ... является арифметической прогрессией. Ее первый член $a_1 = 1$. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 6 - 1 = 5$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставим в нее значения $a_1 = 1$ и $d = 5$:

$a_n = 1 + (n-1) \cdot 5$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_n = 1 + 5n - 5 = 5n - 4$

Проверим формулу:

• $n=1: a_1 = 5(1) - 4 = 1$. Верно.
• $n=2: a_2 = 5(2) - 4 = 10 - 4 = 6$. Верно.
• $n=3: a_3 = 5(3) - 4 = 15 - 4 = 11$. Верно.

Ответ: $a_n = 5n - 4$.