Номер 661, страница 185 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

661. Упростите выражение:

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ и $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$.

Сначала преобразуем числитель. Он представляет собой произведение степеней $x$, поэтому его можно записать как $x$ в степени, равной сумме показателей: $1+2+3+\ldots+n$. Эта сумма является суммой первых $n$ членов арифметической прогрессии (первых $n$ натуральных чисел). Формула для этой суммы: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Таким образом, числитель равен: $x^{1+2+3+\ldots+n} = x^{\frac{n(n+1)}{2}}$.

Теперь преобразуем знаменатель. Показатели степеней в знаменателе $1, 3, 5, \ldots, 2n-1$ также образуют арифметическую прогрессию. Это последовательность первых $n$ нечетных чисел. Сумма первых $n$ нечетных чисел равна $n^2$.

Таким образом, знаменатель равен: $x^{1+3+5+\ldots+(2n-1)} = x^{n^2}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель, для этого вычтем показатель степени знаменателя из показателя степени числителя:

$\frac{x^{\frac{n(n+1)}{2}}}{x^{n^2}} = x^{\frac{n(n+1)}{2} - n^2} = x^{\frac{n^2+n}{2} - \frac{2n^2}{2}} = x^{\frac{n^2+n-2n^2}{2}} = x^{\frac{n-n^2}{2}} = x^{\frac{n(1-n)}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{n(1-n)}{2}}$

б) Упростим это выражение, используя тот же подход.

В числителе показатели степеней $2, 4, 6, \ldots, 2n$ представляют собой сумму первых $n$ четных чисел. Эту сумму можно найти, вынеся общий множитель 2 за скобки: $2(1+2+3+\ldots+n)$. Мы уже знаем, что сумма в скобках равна $\frac{n(n+1)}{2}$.

Следовательно, сумма показателей в числителе: $2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.

Числитель равен: $x^{2+4+6+\ldots+2n} = x^{n(n+1)}$.

В знаменателе мы имеем то же выражение, что и в числителе пункта а): $x \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot \ldots \cdot x^n$. Сумма показателей степеней равна $1+2+3+\ldots+n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Знаменатель равен: $x^{1+2+3+\ldots+n} = x^{\frac{n(n+1)}{2}}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели степеней:

$\frac{x^{n(n+1)}}{x^{\frac{n(n+1)}{2}}} = x^{n(n+1) - \frac{n(n+1)}{2}} = x^{\frac{2n(n+1) - n(n+1)}{2}} = x^{\frac{n(n+1)}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{n(n+1)}{2}}$