Номер 657, страница 184 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

657. Найдите сумму:

а) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200;

б) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150;

в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.

а) Найдём сумму всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200. Эти числа (2, 4, 6, ..., 200) образуют арифметическую прогрессию.

Первый член этой прогрессии $a_1 = 2$, последний член $a_n = 200$, а разность прогрессии $d = 2$.

Сначала найдём количество членов в этой прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$200 = 2 + (n-1) \cdot 2$

$198 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = 99$

$n = 100$

Теперь, зная количество членов, мы можем найти их сумму по формуле суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

$S_{100} = \frac{2 + 200}{2} \cdot 100 = \frac{202}{2} \cdot 100 = 101 \cdot 100 = 10100$.

Ответ: 10100.

б) Найдём сумму всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150. Эти числа (1, 3, 5, ..., 149) также образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии $a_1 = 1$, последний член $a_n = 149$, а разность $d = 2$.

Найдём количество членов ($n$) в этой прогрессии:

$149 = 1 + (n-1) \cdot 2$

$148 = (n-1) \cdot 2$

$n-1 = 74$

$n = 75$

Теперь вычислим сумму этой прогрессии:

$S_{75} = \frac{1 + 149}{2} \cdot 75 = \frac{150}{2} \cdot 75 = 75 \cdot 75 = 5625$.

Ответ: 5625.

в) Найдём сумму всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200. Эти числа образуют арифметическую прогрессию.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это наименьшее натуральное число в заданном промежутке, кратное 3. $100 / 3 \approx 33.33$, значит, первое такое число — это $3 \cdot 34 = 102$. Итак, $a_1 = 102$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее натуральное число в заданном промежутке, кратное 3. $200 / 3 \approx 66.67$, значит, последнее такое число — это $3 \cdot 66 = 198$. Итак, $a_n = 198$.

Разность этой прогрессии $d = 3$.

Найдём количество членов ($n$):

$198 = 102 + (n-1) \cdot 3$

$96 = (n-1) \cdot 3$

$n-1 = 32$

$n = 33$

Теперь вычислим сумму этой прогрессии:

$S_{33} = \frac{102 + 198}{2} \cdot 33 = \frac{300}{2} \cdot 33 = 150 \cdot 33 = 4950$.

Ответ: 4950.