Номер 669, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

669. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность:

Пусть дана геометрическая прогрессия $(x_n)$ с первым членом $x_1$ и знаменателем $q$. Тогда формула n-го члена этой прогрессии: $x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$. Для того чтобы последовательность являлась геометрической прогрессией, отношение любого ее члена к предыдущему должно быть постоянной величиной (знаменателем прогрессии).

а) $x_1 + 1; x_2 + 1; \dots; x_n + 1; \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(y_n)$, где $y_n = x_n + 1$.
Чтобы проверить, является ли она геометрической прогрессией, найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x_{n+1} + 1}{x_n + 1}$
Так как $x_{n+1} = x_n \cdot q$, то
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x_n q + 1}{x_n + 1}$
Это отношение зависит от $x_n$, а значит, и от номера члена $n$. Следовательно, это отношение не является постоянным в общем случае.
Например, рассмотрим прогрессию $1, 2, 4, 8, \dots$ ($x_1=1, q=2$).
Новая последовательность будет $1+1, 2+1, 4+1, \dots$, то есть $2, 3, 5, \dots$.
Найдем отношения: $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{3}$. Так как $\frac{3}{2} \neq \frac{5}{3}$, последовательность не является геометрической прогрессией.
Исключением являются случаи, когда $q=1$ (тогда исходная последовательность постоянна, и новая тоже постоянна, т.е. является геометрической прогрессией со знаменателем 1) или когда $x_1=0$ (тогда все члены равны 0, а новая последовательность $1, 1, 1, \dots$ является геометрической прогрессией со знаменателем 1). Но в общем случае — нет.
Ответ: Нет.

б) $3x_1; 3x_2; \dots; 3x_n; \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(y_n)$, где $y_n = 3x_n$.
Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{3x_{n+1}}{3x_n} = \frac{x_{n+1}}{x_n} = q$
Отношение постоянно и равно знаменателю исходной прогрессии $q$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $y_1 = 3x_1$ и знаменателем $q$.
Ответ: Да.

в) $x_1^2; x_2^2; \dots; x_n^2; \dots$
Рассмотрим новую последовательность $(y_n)$, где $y_n = x_n^2$.
Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x_{n+1}^2}{x_n^2} = \left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)^2 = q^2$
Отношение постоянно и равно $q^2$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $y_1 = x_1^2$ и знаменателем $q^2$.
Ответ: Да.

г) $\frac{1}{x_1}; \frac{1}{x_2}; \dots; \frac{1}{x_n}; \dots$ ?
Рассмотрим новую последовательность $(y_n)$, где $y_n = \frac{1}{x_n}$. Это предполагает, что все члены исходной прогрессии $x_n$ не равны нулю, то есть $x_1 \neq 0$ и $q \neq 0$.
Найдем отношение последующего члена к предыдущему:
$\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{1/x_{n+1}}{1/x_n} = \frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{x_n}{x_n \cdot q} = \frac{1}{q}$
Отношение постоянно и равно $\frac{1}{q}$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $y_1 = \frac{1}{x_1}$ и знаменателем $\frac{1}{q}$.
Ответ: Да.