Номер 671, страница 186 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

671. Является ли геометрической прогрессией последовательность (xₙ), если:

По определению, последовательность $(x_n)$ является геометрической прогрессией, если для всех натуральных $n$ выполняется равенство $x_{n+1} = x_n \cdot q$, где $q$ — некоторое постоянное число, не равное нулю (знаменатель прогрессии), и $x_1 \neq 0$. Иными словами, отношение последующего члена к предыдущему должно быть постоянной величиной: $\frac{x_{n+1}}{x_n} = q$. Проверим это условие для каждой из заданных последовательностей.

а) $x_n = 2^n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 2^{n+1}$.
Теперь найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{n+1-n} = 2^1 = 2$.
Отношение является постоянной величиной $q = 2$, не зависящей от $n$. Первый член $x_1 = 2^1 = 2 \neq 0$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является.

б) $x_n = 3^{-n}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 3^{-(n+1)} = 3^{-n-1}$.
Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{3^{-n-1}}{3^{-n}} = 3^{(-n-1) - (-n)} = 3^{-n-1+n} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Отношение является постоянной величиной $q = \frac{1}{3}$, не зависящей от $n$. Первый член $x_1 = 3^{-1} = \frac{1}{3} \neq 0$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является.

в) $x_n = n^2$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = (n+1)^2$.
Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$.
Это отношение зависит от $n$, то есть не является постоянной величиной. Например, для $n=1$ отношение равно $\frac{x_2}{x_1} = \frac{2^2}{1^2} = 4$, а для $n=2$ отношение равно $\frac{x_3}{x_2} = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$. Так как $4 \neq \frac{9}{4}$, знаменатель прогрессии не является постоянным. Следовательно, данная последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: нет, не является.

г) $x_n = ab^n$, где $a \neq 0, b \neq 0$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = ab^{n+1}$.
Найдем отношение $\frac{x_{n+1}}{x_n}$:
$\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{ab^{n+1}}{ab^n}$.
Поскольку $a \neq 0$ и $b \neq 0$, мы можем сократить дробь:
$\frac{ab^{n+1}}{ab^n} = \frac{b^{n+1}}{b^n} = b^{n+1-n} = b^1 = b$.
Отношение является постоянной величиной $q = b$, не зависящей от $n$. Первый член $x_1 = ab^1 = ab$. Так как $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то $x_1 \neq 0$. Следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: да, является.