Страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

753. Решите графически уравнение:

а)

Чтобы решить уравнение $x^3 = 7x - 6$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = 7x - 6$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Для ее построения возьмем несколько точек:

• при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$
• при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$
• при $x = 0$, $y = 0^3 = 0$
• при $x = 1$, $y = 1^3 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2^3 = 8$
• при $x = -3$, $y = (-3)^3 = -27$

2. График функции $y = 7x - 6$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = 7 \cdot 0 - 6 = -6$
• при $x = 1$, $y = 7 \cdot 1 - 6 = 1$

Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в трех точках. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Из графика находим, что это точки с абсциссами -3, 1 и 2.

Проверка:

• Для $x = -3$: $(-3)^3 = -27$ и $7(-3) - 6 = -21 - 6 = -27$. Верно.
• Для $x = 1$: $1^3 = 1$ и $7(1) - 6 = 7 - 6 = 1$. Верно.
• Для $x = 2$: $2^3 = 8$ и $7(2) - 6 = 14 - 6 = 8$. Верно.

Ответ: -3; 1; 2.

б)

Для графического решения уравнения $\frac{6}{x} = 0,5x - 2$ построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 0,5x - 2$.

1. График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Точки для построения:

• (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)
• (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1)

2. График функции $y = 0,5x - 2$ — это прямая. Построим ее по двум точкам:

• при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 2 = -2$
• при $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4 - 2 = 0$

Построив графики, находим точки их пересечения. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения. По графику видно, что это $x = -2$ и $x = 6$.

Проверка:

• Для $x = -2$: $\frac{6}{-2} = -3$ и $0,5(-2) - 2 = -1 - 2 = -3$. Верно.
• Для $x = 6$: $\frac{6}{6} = 1$ и $0,5(6) - 2 = 3 - 2 = 1$. Верно.

Ответ: -2; 6.

в)

Решим уравнение $\frac{4}{x} = x^2 - 2x$ графически. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = x^2 - 2x$.

1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях. Точки для построения: (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2).

2. График функции $y = x^2 - 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина в точке (1, -1). Парабола пересекает ось Ox в точках $x(x-2)=0$, то есть (0, 0) и (2, 0).

Построим графики. Для $x < 0$ график $y = \frac{4}{x}$ лежит ниже оси Ox, а график $y = x^2 - 2x$ — выше оси Ox, поэтому пересечений в этой области нет. Для $x > 0$ графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки является единственным решением уравнения. Из графика видно, что точка пересечения находится в первой четверти. При $x=2$ значения функций: $y=\frac{4}{2}=2$ и $y=2^2-2\cdot2=0$. При $x=3$ значения: $y=\frac{4}{3} \approx 1,33$ и $y=3^2-2\cdot3=3$. Так как на отрезке $[2, 3]$ одна функция убывает, а другая возрастает, они пересекаются один раз. Графический метод позволяет определить лишь приблизительное значение корня.

Ответ: $x \approx 2,6$.

г)

Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = x^3$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x^3$.

Область определения обеих частей уравнения — $x \ge 0$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Точки для построения: (0, 0), (1, 1), (4, 2).

2. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Рассматриваем ее только при $x \ge 0$. Точки для построения: (0, 0), (1, 1), (2, 8).

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в двух точках, абсциссы которых $x=0$ и $x=1$.

Проверка:

• Для $x = 0$: $\sqrt{0} = 0$ и $0^3 = 0$. Верно.
• Для $x = 1$: $\sqrt{1} = 1$ и $1^3 = 1$. Верно.

Ответ: 0; 1.

754. Решите систему уравнений:

а)
Дана система уравнений:$\begin{cases} 4x - y = 17 \\ y + 6x = 23\end{cases}$
Перепишем второе уравнение, поменяв слагаемые местами, для удобства: $6x + y = 23$.
Теперь система выглядит так:$\begin{cases} 4x - y = 17 \\ 6x + y = 23\end{cases}$
Воспользуемся методом сложения, так как коэффициенты при $y$ являются противоположными числами ($-1$ и $1$). Сложим левые и правые части уравнений:
$(4x - y) + (6x + y) = 17 + 23$
$10x = 40$
$x = \frac{40}{10}$
$x = 4$
Теперь подставим найденное значение $x = 4$ в первое уравнение ($4x - y = 17$) для нахождения $y$:
$4(4) - y = 17$
$16 - y = 17$
$-y = 17 - 16$
$-y = 1$
$y = -1$
Проверим решение, подставив $x=4$ и $y=-1$ во второе исходное уравнение ($y + 6x = 23$):
$(-1) + 6(4) = -1 + 24 = 23$.
$23 = 23$. Решение верно.
Ответ: $(4; -1)$

б)
Дана система уравнений:$\begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 5y + 7x = 19\end{cases}$
Перепишем второе уравнение в стандартном виде, расположив переменные в том же порядке, что и в первом уравнении: $7x + 5y = 19$.
Система:$\begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 7x + 5y = 19\end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($-10$ и $10$):
$2 \cdot (7x + 5y) = 2 \cdot 19 \implies 14x + 10y = 38$
Получаем новую систему:$\begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 14x + 10y = 38\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(6x - 10y) + (14x + 10y) = 11 + 38$
$20x = 49$
$x = \frac{49}{20}$
Подставим значение $x = \frac{49}{20}$ во второе исходное уравнение $7x + 5y = 19$:
$7 \cdot \frac{49}{20} + 5y = 19$
$\frac{343}{20} + 5y = 19$
$5y = 19 - \frac{343}{20} = \frac{380}{20} - \frac{343}{20} = \frac{37}{20}$
$y = \frac{37}{20 \cdot 5} = \frac{37}{100}$
Проверим решение, подставив найденные значения в первое уравнение: $6(\frac{49}{20}) - 10(\frac{37}{100}) = \frac{294}{20} - \frac{37}{10} = \frac{147}{10} - \frac{37}{10} = \frac{110}{10} = 11$. Верно.
Ответ: $(\frac{49}{20}; \frac{37}{100})$

в)
Дана система уравнений:$\begin{cases} 5x = y + 50 \\ -3,4x + 2,6y = 14\end{cases}$
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 5x - 50$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$-3,4x + 2,6(5x - 50) = 14$
$-3,4x + 13x - 130 = 14$
$9,6x = 14 + 130$
$9,6x = 144$
$x = \frac{144}{9,6} = \frac{1440}{96}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 48: $x = \frac{1440 \div 48}{96 \div 48} = \frac{30}{2} = 15$.
$x = 15$
Теперь найдем $y$, подставив $x=15$ в выражение $y = 5x - 50$:
$y = 5(15) - 50$
$y = 75 - 50$
$y = 25$
Проверим решение, подставив $x=15$ и $y=25$ во второе уравнение: $-3,4(15) + 2,6(25) = -51 + 65 = 14$. Верно.
Ответ: $(15; 25)$

г)
Дана система уравнений:$\begin{cases} 4x - 2y = 3 \\ 13x + 6y = -1\end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($-6$ и $6$):
$3 \cdot (4x - 2y) = 3 \cdot 3 \implies 12x - 6y = 9$
Получаем новую систему:$\begin{cases} 12x - 6y = 9 \\ 13x + 6y = -1\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(12x - 6y) + (13x + 6y) = 9 + (-1)$
$25x = 8$
$x = \frac{8}{25}$
Подставим найденное значение $x = \frac{8}{25}$ в первое исходное уравнение $4x - 2y = 3$:
$4 \cdot \frac{8}{25} - 2y = 3$
$\frac{32}{25} - 2y = 3$
$-2y = 3 - \frac{32}{25}$
$-2y = \frac{75}{25} - \frac{32}{25}$
$-2y = \frac{43}{25}$
$y = \frac{43}{25 \cdot (-2)} = -\frac{43}{50}$
Проверим решение, подставив $x=\frac{8}{25}$ и $y=-\frac{43}{50}$ во второе уравнение: $13(\frac{8}{25}) + 6(-\frac{43}{50}) = \frac{104}{25} - \frac{258}{50} = \frac{208}{50} - \frac{258}{50} = -\frac{50}{50} = -1$. Верно.
Ответ: $(\frac{8}{25}; -\frac{43}{50})$

755. Решите систему уравнений:

а) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}\frac{2x - y}{3} - \frac{x - 2y}{2} = \frac{3}{2} \\\frac{2x + y}{2} - \frac{x + 2y}{3} = \frac{1}{3}\end{cases}$
Для решения системы необходимо сначала упростить каждое уравнение, избавившись от знаменателей.
Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель, который равен 6:
$6 \cdot \frac{2x - y}{3} - 6 \cdot \frac{x - 2y}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2}$
$2(2x - y) - 3(x - 2y) = 9$
$4x - 2y - 3x + 6y = 9$
Приводим подобные члены:
$x + 4y = 9$
Умножим второе уравнение на наименьший общий знаменатель, который также равен 6:
$6 \cdot \frac{2x + y}{2} - 6 \cdot \frac{x + 2y}{3} = 6 \cdot \frac{1}{3}$
$3(2x + y) - 2(x + 2y) = 2$
$6x + 3y - 2x - 4y = 2$
Приводим подобные члены:
$4x - y = 2$
Теперь мы имеем упрощенную систему линейных уравнений:
$\begin{cases}x + 4y = 9 \\4x - y = 2\end{cases}$
Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 9 - 4y$
Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$4(9 - 4y) - y = 2$
$36 - 16y - y = 2$
$36 - 17y = 2$
$-17y = 2 - 36$
$-17y = -34$
$y = 2$
Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 2$ в выражение для $x$:
$x = 9 - 4(2) = 9 - 8 = 1$

Ответ: $(1; 2)$.

б) Исходная система уравнений:
$\begin{cases}\frac{x - y + 1}{2} + \frac{x + y - 1}{5} = 7 \\\frac{x - y + 1}{3} - \frac{x + y - 1}{4} = -3\end{cases}$
Заметим, что в уравнениях повторяются выражения. Для упрощения введем замену переменных:
Пусть $a = x - y + 1$ и $b = x + y - 1$.
Тогда система примет вид:
$\begin{cases}\frac{a}{2} + \frac{b}{5} = 7 \\\frac{a}{3} - \frac{b}{4} = -3\end{cases}$
Избавимся от знаменателей. Умножим первое уравнение на 10 (НОК(2,5)), а второе на 12 (НОК(3,4)):
$\begin{cases}5a + 2b = 70 \\4a - 3b = -36\end{cases}$
Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:
$\begin{cases}15a + 6b = 210 \\8a - 6b = -72\end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(15a + 8a) + (6b - 6b) = 210 - 72$
$23a = 138$
$a = \frac{138}{23} = 6$
Подставим значение $a = 6$ в уравнение $5a + 2b = 70$:
$5(6) + 2b = 70$
$30 + 2b = 70$
$2b = 40$
$b = 20$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$\begin{cases}x - y + 1 = a \\x + y - 1 = b\end{cases}\implies\begin{cases}x - y + 1 = 6 \\x + y - 1 = 20\end{cases}$
Это приводит к системе:
$\begin{cases}x - y = 5 \\x + y = 21\end{cases}$
Сложим эти два уравнения:
$(x - y) + (x + y) = 5 + 21$
$2x = 26$
$x = 13$
Подставим значение $x=13$ в уравнение $x + y = 21$:
$13 + y = 21$
$y = 21 - 13 = 8$

Ответ: $(13; 8)$.

756. Решите систему уравнений

с переменными x и y, если одним из решений первого уравнения является пара чисел (8; 1), а второго — пара чисел (5; –1).

Для решения данной задачи необходимо сначала определить значения коэффициентов $a$ и $b$, используя предоставленные условия, а затем решить полученную систему уравнений.

1. Найдем значение коэффициента $a$.

В условии сказано, что пара чисел $(8; 1)$ является решением уравнения $ax - 3y = 13$. Это значит, что при подстановке $x = 8$ и $y = 1$ в это уравнение мы получим верное равенство. Выполним подстановку:

$a \cdot 8 - 3 \cdot 1 = 13$

$8a - 3 = 13$

Перенесем $-3$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$8a = 13 + 3$

$8a = 16$

Разделим обе части уравнения на 8:

$a = \frac{16}{8}$

$a = 2$

2. Найдем значение коэффициента $b$.

Аналогично, пара чисел $(5; -1)$ является решением второго уравнения $2x + by = 5$. Подставим $x = 5$ и $y = -1$ в это уравнение:

$2 \cdot 5 + b \cdot (-1) = 5$

$10 - b = 5$

Чтобы найти $b$, перенесем $b$ в правую часть, а 5 — в левую:

$10 - 5 = b$

$b = 5$

3. Решим систему уравнений.

Теперь, когда известны коэффициенты $a=2$ и $b=5$, исходная система уравнений принимает вид:

$\begin{cases} 2x - 3y = 13, \\ 2x + 5y = 5 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического вычитания, так как коэффициенты при переменной $x$ в обоих уравнениях одинаковы. Вычтем второе уравнение из первого:

$(2x - 3y) - (2x + 5y) = 13 - 5$

$2x - 3y - 2x - 5y = 8$

$-8y = 8$

Разделим обе части на -8, чтобы найти $y$:

$y = \frac{8}{-8}$

$y = -1$

Теперь подставим найденное значение $y = -1$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $x$. Воспользуемся первым уравнением $2x - 3y = 13$:

$2x - 3(-1) = 13$

$2x + 3 = 13$

$2x = 13 - 3$

$2x = 10$

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(5; -1)$.

Ответ: $(5; -1)$.

757. Каково расстояние от точки пересечения прямых 5x – 2y = –25 и –4x + 3y = 27:

а) до оси абсцисс;

б) до оси ординат;

в) до начала координат?

Для начала найдем точку пересечения прямых. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} 5x - 2y = -25 \\ -4x + 3y = 27 \end{cases}$

Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

$\begin{cases} (5x - 2y) \cdot 3 = -25 \cdot 3 \\ (-4x + 3y) \cdot 2 = 27 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 15x - 6y = -75 \\ -8x + 6y = 54 \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения системы:

$(15x - 6y) + (-8x + 6y) = -75 + 54$

$15x - 8x = -21$

$7x = -21$

$x = -3$

Подставим найденное значение x в первое исходное уравнение, чтобы найти y:

$5(-3) - 2y = -25$

$-15 - 2y = -25$

$-2y = -25 + 15$

$-2y = -10$

$y = 5$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(-3, 5)$. Обозначим эту точку $P(-3, 5)$.

Теперь найдем требуемые расстояния.

а) до оси абсцисс

Ось абсцисс — это ось Ox. Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до оси абсцисс равно модулю ее ординаты, то есть $|y_0|$.

Для точки $P(-3, 5)$ расстояние до оси абсцисс равно $|5| = 5$.

Ответ: 5

б) до оси ординат

Ось ординат — это ось Oy. Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до оси ординат равно модулю ее абсциссы, то есть $|x_0|$.

Для точки $P(-3, 5)$ расстояние до оси ординат равно $|-3| = 3$.

Ответ: 3

в) до начала координат

Начало координат — это точка $O(0, 0)$. Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до начала координат вычисляется по формуле расстояния между двумя точками (по теореме Пифагора): $d = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

Для точки $P(-3, 5)$ расстояние до начала координат равно $\sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

Ответ: $\sqrt{34}$

758. Подберите значения k и b так, чтобы система уравнений

а) не имела решений;

б) имела бесконечно много решений;

в) имела единственным решением пару чисел, в которой x = 4.

Данная система уравнений представляет собой две прямые линии на координатной плоскости. Общее уравнение прямой имеет вид $y = mx + c$, где $m$ — угловой коэффициент (наклон), а $c$ — точка пересечения с осью Y.

Первое уравнение: $y = kx + b$. Угловой коэффициент — $k$, точка пересечения с осью Y — $b$.

Второе уравнение: $y = 2,5x - 3$. Угловой коэффициент — $2,5$, точка пересечения с осью Y — $-3$.

а) не имела решений;

Система линейных уравнений не имеет решений, если графики этих уравнений — параллельные прямые, которые не совпадают. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, и не совпадают, если их точки пересечения с осью Y различны.

1. Приравниваем угловые коэффициенты: $k = 2,5$.

2. Точки пересечения с осью Y должны быть разными: $b \neq -3$.

Следовательно, чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы $k = 2,5$, а $b$ было любым числом, кроме $-3$.

Ответ: $k = 2,5$, $b \neq -3$ (например, $k = 2,5$, $b = 1$).

б) имела бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что их угловые коэффициенты и точки пересечения с осью Y должны совпадать.

1. Приравниваем угловые коэффициенты: $k = 2,5$.

2. Приравниваем точки пересечения с осью Y: $b = -3$.

Следовательно, чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо, чтобы $k = 2,5$ и $b = -3$.

Ответ: $k = 2,5$, $b = -3$.

в) имела единственным решением пару чисел, в которой $x = 4$.

Система имеет единственное решение, если прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны: $k \neq 2,5$.

Нам дано, что $x$-координата точки пересечения равна $4$. Найдем $y$-координату этой точки, подставив $x = 4$ во второе уравнение системы:

$y = 2,5 \cdot 4 - 3 = 10 - 3 = 7$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(4; 7)$.

Эта точка должна также принадлежать первой прямой $y = kx + b$. Подставим координаты точки $(4; 7)$ в первое уравнение:

$7 = k \cdot 4 + b$

$7 = 4k + b$

Отсюда можно выразить $b$ через $k$: $b = 7 - 4k$.

Это соотношение должно выполняться при условии, что $k \neq 2,5$. Мы можем выбрать любое значение $k$, отличное от $2,5$, и вычислить соответствующее значение $b$. Например, выберем $k = 1$:

$b = 7 - 4 \cdot 1 = 7 - 4 = 3$.

Таким образом, пара $k = 1$ и $b = 3$ является одним из возможных решений.

Ответ: Любая пара чисел $(k, b)$, где $k \neq 2,5$ и $b = 7 - 4k$. Например, $k = 1$ и $b = 3$.

759. Принадлежит ли точка пересечения прямых –2x + y = 11 и 3x + 2y = 1 прямой:

а) 10x – 3y = –45;

б) –7x + 9y = 65?

Для решения задачи сначала найдем координаты точки пересечения прямых $-2x + y = 11$ и $3x + 2y = 1$. Для этого необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} -2x + y = 11 \\ 3x + 2y = 1 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 11 + 2x$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$3x + 2(11 + 2x) = 1$
$3x + 22 + 4x = 1$
$7x = 1 - 22$
$7x = -21$
$x = \frac{-21}{7} = -3$

Теперь вычислим значение $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 11 + 2x$:
$y = 11 + 2(-3) = 11 - 6 = 5$

Координаты точки пересечения: $(-3; 5)$. Теперь проверим принадлежность этой точки заданным прямым.

а) Проверим, принадлежит ли точка $(-3; 5)$ прямой $10x - 3y = -45$. Для этого подставим ее координаты в уравнение прямой:
$10 \cdot (-3) - 3 \cdot 5 = -30 - 15 = -45$
Равенство $-45 = -45$ является верным, следовательно, точка принадлежит прямой.
Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим, принадлежит ли точка $(-3; 5)$ прямой $-7x + 9y = 65$. Подставим ее координаты в уравнение прямой:
$-7 \cdot (-3) + 9 \cdot 5 = 21 + 45 = 66$
Равенство $66 = 65$ является неверным ($66 \neq 65$), следовательно, точка не принадлежит прямой.
Ответ: нет, не принадлежит.

760. Запишите уравнение прямой, которая проходит через точки:

а) (0; 30) и (6; 0);

б) (2; 3) и (–2; 10).

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно воспользоваться каноническим уравнением прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Это уравнение затем можно привести к общему виду уравнения прямой $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (точка пересечения с осью OY).

а) (0; 30) и (6; 0)

Подставим координаты точек $(x_1, y_1) = (0, 30)$ и $(x_2, y_2) = (6, 0)$ в формулу:

$\frac{x - 0}{6 - 0} = \frac{y - 30}{0 - 30}$

Упростим выражение:

$\frac{x}{6} = \frac{y - 30}{-30}$

Теперь выразим $y$ из этого уравнения. Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$-30x = 6(y - 30)$

Разделим обе части уравнения на 6:

$-5x = y - 30$

Перенесем $-30$ в левую часть, чтобы выразить $y$:

$y = -5x + 30$

Ответ: $y = -5x + 30$

б) (2; 3) и (-2; 10)

Подставим координаты точек $(x_1, y_1) = (2, 3)$ и $(x_2, y_2) = (-2, 10)$ в формулу:

$\frac{x - 2}{-2 - 2} = \frac{y - 3}{10 - 3}$

Упростим знаменатели:

$\frac{x - 2}{-4} = \frac{y - 3}{7}$

Применим основное свойство пропорции:

$7(x - 2) = -4(y - 3)$

Раскроем скобки:

$7x - 14 = -4y + 12$

Теперь выразим $y$. Перенесем слагаемые так, чтобы член с $y$ оказался слева:

$4y = -7x + 12 + 14$

$4y = -7x + 26$

Разделим обе части на 4, чтобы получить уравнение вида $y = kx + b$:

$y = -\frac{7}{4}x + \frac{26}{4}$

Сократим дробь $\frac{26}{4}$:

$y = -\frac{7}{4}x + \frac{13}{2}$

Это уравнение можно также записать в десятичных дробях: $y = -1.75x + 6.5$.

Ответ: $y = -\frac{7}{4}x + \frac{13}{2}$

761. Найдите такие значения коэффициентов a и b, при которых точки M(2; –3) и N(1; 4) принадлежат параболе y = ax² + bx.

По условию задачи, точки $M(2; -3)$ и $N(1; 4)$ принадлежат параболе, заданной уравнением $y = ax^2 + bx$. Это означает, что координаты каждой точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставив координаты точек в уравнение параболы, мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $a$ и $b$.

Для точки $M(2; -3)$ подставляем $x = 2$ и $y = -3$ в уравнение $y = ax^2 + bx$:
$-3 = a \cdot (2)^2 + b \cdot 2$
$-3 = 4a + 2b$

Для точки $N(1; 4)$ подставляем $x = 1$ и $y = 4$ в уравнение $y = ax^2 + bx$:
$4 = a \cdot (1)^2 + b \cdot 1$
$4 = a + b$

В результате мы получили систему уравнений: $$ \begin{cases} 4a + 2b = -3 \\ a + b = 4 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $b$:
$b = 4 - a$

Теперь подставим это выражение для $b$ в первое уравнение системы: $4a + 2(4 - a) = -3$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $a$:
$4a + 8 - 2a = -3$
$2a + 8 = -3$
$2a = -3 - 8$
$2a = -11$
$a = -\frac{11}{2} = -5.5$

Зная значение $a$, найдем соответствующее значение $b$, подставив $a = -11/2$ в выражение $b = 4 - a$:
$b = 4 - (-\frac{11}{2})$
$b = 4 + \frac{11}{2}$
$b = \frac{8}{2} + \frac{11}{2}$
$b = \frac{19}{2} = 9.5$

Таким образом, искомые значения коэффициентов: $a = -5.5$ и $b = 9.5$.

Ответ: $a = -5.5$, $b = 9.5$.