Номер 758, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 758, страница 198.

Условие.

758. Подберите значения k и b так, чтобы система уравнений

а) не имела решений;

б) имела бесконечно много решений;

в) имела единственным решением пару чисел, в которой x = 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данная система уравнений представляет собой две прямые линии на координатной плоскости. Общее уравнение прямой имеет вид $y = mx + c$, где $m$ — угловой коэффициент (наклон), а $c$ — точка пересечения с осью Y.

Первое уравнение: $y = kx + b$. Угловой коэффициент — $k$, точка пересечения с осью Y — $b$.

Второе уравнение: $y = 2,5x - 3$. Угловой коэффициент — $2,5$, точка пересечения с осью Y — $-3$.

а) не имела решений;

Система линейных уравнений не имеет решений, если графики этих уравнений — параллельные прямые, которые не совпадают. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, и не совпадают, если их точки пересечения с осью Y различны.

1. Приравниваем угловые коэффициенты: $k = 2,5$.

2. Точки пересечения с осью Y должны быть разными: $b \neq -3$.

Следовательно, чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы $k = 2,5$, а $b$ было любым числом, кроме $-3$.

Ответ: $k = 2,5$, $b \neq -3$ (например, $k = 2,5$, $b = 1$).

б) имела бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что их угловые коэффициенты и точки пересечения с осью Y должны совпадать.

1. Приравниваем угловые коэффициенты: $k = 2,5$.

2. Приравниваем точки пересечения с осью Y: $b = -3$.

Следовательно, чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо, чтобы $k = 2,5$ и $b = -3$.

Ответ: $k = 2,5$, $b = -3$.

в) имела единственным решением пару чисел, в которой $x = 4$.

Система имеет единственное решение, если прямые пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты не равны: $k \neq 2,5$.

Нам дано, что $x$-координата точки пересечения равна $4$. Найдем $y$-координату этой точки, подставив $x = 4$ во второе уравнение системы:

$y = 2,5 \cdot 4 - 3 = 10 - 3 = 7$.

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(4; 7)$.

Эта точка должна также принадлежать первой прямой $y = kx + b$. Подставим координаты точки $(4; 7)$ в первое уравнение:

$7 = k \cdot 4 + b$

$7 = 4k + b$

Отсюда можно выразить $b$ через $k$: $b = 7 - 4k$.

Это соотношение должно выполняться при условии, что $k \neq 2,5$. Мы можем выбрать любое значение $k$, отличное от $2,5$, и вычислить соответствующее значение $b$. Например, выберем $k = 1$:

$b = 7 - 4 \cdot 1 = 7 - 4 = 3$.

Таким образом, пара $k = 1$ и $b = 3$ является одним из возможных решений.

Ответ: Любая пара чисел $(k, b)$, где $k \neq 2,5$ и $b = 7 - 4k$. Например, $k = 1$ и $b = 3$.