Номер 754, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

754. Решите систему уравнений:

а)
Дана система уравнений:$\begin{cases} 4x - y = 17 \\ y + 6x = 23\end{cases}$
Перепишем второе уравнение, поменяв слагаемые местами, для удобства: $6x + y = 23$.
Теперь система выглядит так:$\begin{cases} 4x - y = 17 \\ 6x + y = 23\end{cases}$
Воспользуемся методом сложения, так как коэффициенты при $y$ являются противоположными числами ($-1$ и $1$). Сложим левые и правые части уравнений:
$(4x - y) + (6x + y) = 17 + 23$
$10x = 40$
$x = \frac{40}{10}$
$x = 4$
Теперь подставим найденное значение $x = 4$ в первое уравнение ($4x - y = 17$) для нахождения $y$:
$4(4) - y = 17$
$16 - y = 17$
$-y = 17 - 16$
$-y = 1$
$y = -1$
Проверим решение, подставив $x=4$ и $y=-1$ во второе исходное уравнение ($y + 6x = 23$):
$(-1) + 6(4) = -1 + 24 = 23$.
$23 = 23$. Решение верно.
Ответ: $(4; -1)$

б)
Дана система уравнений:$\begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 5y + 7x = 19\end{cases}$
Перепишем второе уравнение в стандартном виде, расположив переменные в том же порядке, что и в первом уравнении: $7x + 5y = 19$.
Система:$\begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 7x + 5y = 19\end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($-10$ и $10$):
$2 \cdot (7x + 5y) = 2 \cdot 19 \implies 14x + 10y = 38$
Получаем новую систему:$\begin{cases} 6x - 10y = 11 \\ 14x + 10y = 38\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(6x - 10y) + (14x + 10y) = 11 + 38$
$20x = 49$
$x = \frac{49}{20}$
Подставим значение $x = \frac{49}{20}$ во второе исходное уравнение $7x + 5y = 19$:
$7 \cdot \frac{49}{20} + 5y = 19$
$\frac{343}{20} + 5y = 19$
$5y = 19 - \frac{343}{20} = \frac{380}{20} - \frac{343}{20} = \frac{37}{20}$
$y = \frac{37}{20 \cdot 5} = \frac{37}{100}$
Проверим решение, подставив найденные значения в первое уравнение: $6(\frac{49}{20}) - 10(\frac{37}{100}) = \frac{294}{20} - \frac{37}{10} = \frac{147}{10} - \frac{37}{10} = \frac{110}{10} = 11$. Верно.
Ответ: $(\frac{49}{20}; \frac{37}{100})$

в)
Дана система уравнений:$\begin{cases} 5x = y + 50 \\ -3,4x + 2,6y = 14\end{cases}$
Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 5x - 50$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$-3,4x + 2,6(5x - 50) = 14$
$-3,4x + 13x - 130 = 14$
$9,6x = 14 + 130$
$9,6x = 144$
$x = \frac{144}{9,6} = \frac{1440}{96}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 48: $x = \frac{1440 \div 48}{96 \div 48} = \frac{30}{2} = 15$.
$x = 15$
Теперь найдем $y$, подставив $x=15$ в выражение $y = 5x - 50$:
$y = 5(15) - 50$
$y = 75 - 50$
$y = 25$
Проверим решение, подставив $x=15$ и $y=25$ во второе уравнение: $-3,4(15) + 2,6(25) = -51 + 65 = 14$. Верно.
Ответ: $(15; 25)$

г)
Дана система уравнений:$\begin{cases} 4x - 2y = 3 \\ 13x + 6y = -1\end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($-6$ и $6$):
$3 \cdot (4x - 2y) = 3 \cdot 3 \implies 12x - 6y = 9$
Получаем новую систему:$\begin{cases} 12x - 6y = 9 \\ 13x + 6y = -1\end{cases}$
Сложим уравнения:
$(12x - 6y) + (13x + 6y) = 9 + (-1)$
$25x = 8$
$x = \frac{8}{25}$
Подставим найденное значение $x = \frac{8}{25}$ в первое исходное уравнение $4x - 2y = 3$:
$4 \cdot \frac{8}{25} - 2y = 3$
$\frac{32}{25} - 2y = 3$
$-2y = 3 - \frac{32}{25}$
$-2y = \frac{75}{25} - \frac{32}{25}$
$-2y = \frac{43}{25}$
$y = \frac{43}{25 \cdot (-2)} = -\frac{43}{50}$
Проверим решение, подставив $x=\frac{8}{25}$ и $y=-\frac{43}{50}$ во второе уравнение: $13(\frac{8}{25}) + 6(-\frac{43}{50}) = \frac{104}{25} - \frac{258}{50} = \frac{208}{50} - \frac{258}{50} = -\frac{50}{50} = -1$. Верно.
Ответ: $(\frac{8}{25}; -\frac{43}{50})$