Номер 747, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

747. Из села в город, к которому ведёт дорога длиной 120 км, выехала легковая автомашина. Через 30 мин из города в село выехал грузовик и встретился с легковой автомашиной в 45 км от города. Найдите скорость грузовика, если она меньше скорости легковой автомашины на 5 км/ч.

Пусть скорость грузовика равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость легковой автомашины на 5 км/ч больше, следовательно, ее скорость составляет $(x + 5)$ км/ч.

Общее расстояние между селом и городом составляет 120 км. Автомобили встретились в 45 км от города.

Грузовик выехал из города, поэтому до места встречи он проехал расстояние $S_г = 45$ км.

Легковая автомашина выехала из села и двигалась навстречу грузовику. До места встречи она проехала расстояние $S_л = 120 - 45 = 75$ км.

Время, которое каждый автомобиль находился в пути до встречи, можно выразить через скорость и расстояние по формуле $t = S/v$.

Время движения грузовика: $t_г = \frac{45}{x}$ ч.

Время движения легковой автомашины: $t_л = \frac{75}{x+5}$ ч.

Из условия известно, что легковая автомашина выехала на 30 минут (то есть на 0,5 часа) раньше грузовика. Это означает, что время ее движения было на 0,5 часа больше времени движения грузовика. Составим уравнение:

$t_л - t_г = 0.5$

$\frac{75}{x+5} - \frac{45}{x} = 0.5$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $2x(x+5)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$ (скорость не может быть нулевой или отрицательной):

$75 \cdot 2x - 45 \cdot 2(x+5) = 0.5 \cdot 2x(x+5)$

$150x - 90(x+5) = x(x+5)$

$150x - 90x - 450 = x^2 + 5x$

$60x - 450 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 60x + 450 = 0$

$x^2 - 55x + 450 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 450 = 3025 - 1800 = 1225$

$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-55) + 35}{2 \cdot 1} = \frac{55 + 35}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-(-55) - 35}{2 \cdot 1} = \frac{55 - 35}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Оба корня положительные, поэтому оба являются возможными решениями. Проверим каждый из них.

Вариант 1: Скорость грузовика $x = 45$ км/ч.
В этом случае скорость легковой машины равна $45 + 5 = 50$ км/ч.
Время в пути для грузовика: $t_г = 45/45 = 1$ час.
Время в пути для легковой машины: $t_л = 75/50 = 1.5$ часа.
Разница во времени: $1.5 - 1 = 0.5$ часа, что соответствует условию задачи. Этот вариант является верным.

Вариант 2: Скорость грузовика $x = 10$ км/ч.
В этом случае скорость легковой машины равна $10 + 5 = 15$ км/ч.
Время в пути для грузовика: $t_г = 45/10 = 4.5$ часа.
Время в пути для легковой машины: $t_л = 75/15 = 5$ часов.
Разница во времени: $5 - 4.5 = 0.5$ часа, что также соответствует условию задачи. Этот вариант тоже является верным.

Так как в условии задачи нет дополнительных ограничений, оба решения являются правильными.

Ответ: скорость грузовика может быть 45 км/ч или 10 км/ч.