Номер 746, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 746, страница 197.

Условие.

746. Расстояние от станицы до железнодорожной станции равно 60 км. Мотоциклист выехал из станицы на 1$\frac{1}{4}$ч позже велосипедиста и прибыл на станцию, когда велосипедист был от неё в 21 км. Найдите скорость велосипедиста, если она была на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста. Согласно условию, скорость мотоциклиста на 18 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 18)$ км/ч.

Общее расстояние от станицы до железнодорожной станции составляет 60 км.

Мотоциклист проехал все расстояние в 60 км. Время, которое он затратил на путь, можно выразить формулой $t = \frac{S}{v}$. Таким образом, время движения мотоциклиста:

$t_м = \frac{60}{x + 18}$ ч.

В момент, когда мотоциклист прибыл на станцию, велосипедист находился на расстоянии 21 км от нее. Это означает, что велосипедист за то же время проехал:

$S_в = 60 - 21 = 39$ км.

Время, которое велосипедист находился в пути к этому моменту, составляет:

$t_в = \frac{39}{x}$ ч.

Из условия известно, что мотоциклист выехал на $1\frac{1}{4}$ часа позже велосипедиста. Это значит, что время движения велосипедиста было на $1\frac{1}{4}$ часа (или 1,25 часа) больше, чем время движения мотоциклиста. На основе этого можно составить уравнение:

$t_в - t_м = 1\frac{1}{4}$

Подставим в это уравнение выражения для $t_в$ и $t_м$:

$\frac{39}{x} - \frac{60}{x + 18} = 1.25$

Представим 1,25 в виде дроби $\frac{5}{4}$ и приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+18)$:

$\frac{39(x + 18) - 60x}{x(x + 18)} = \frac{5}{4}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{39x + 702 - 60x}{x^2 + 18x} = \frac{5}{4}$

$\frac{702 - 21x}{x^2 + 18x} = \frac{5}{4}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):

$4(702 - 21x) = 5(x^2 + 18x)$

$2808 - 84x = 5x^2 + 90x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5x^2 + 90x + 84x - 2808 = 0$

$5x^2 + 174x - 2808 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 174^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2808) = 30276 + 56160 = 86436$

$\sqrt{D} = \sqrt{86436} = 294$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-174 + 294}{2 \cdot 5} = \frac{120}{10} = 12$

$x_2 = \frac{-174 - 294}{2 \cdot 5} = \frac{-468}{10} = -46.8$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -46.8$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, скорость велосипедиста составляет 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.