Номер 751, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 751, страница 197.

Условие.

751. Приведите уравнение к виду xⁿ = a и решите его:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дано уравнение $\frac{1}{8}x^3 = 1$.

Сначала приведем его к виду $x^n = a$. Для этого умножим обе части уравнения на 8:

$x^3 = 1 \cdot 8$

$x^3 = 8$

Теперь решим полученное уравнение. Найдем корень третьей степени из 8. Так как показатель степени $n=3$ — нечетное число, уравнение имеет единственный действительный корень.

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

б) Дано уравнение $1000x^3 + 1 = 0$.

Приведем его к виду $x^n = a$. Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$1000x^3 = -1$

Разделим обе части на 1000:

$x^3 = -\frac{1}{1000}$

Решим уравнение, извлекая корень третьей степени. Показатель степени $n=3$ — нечетный, поэтому корень будет один.

$x = \sqrt[3]{-\frac{1}{1000}}$

$x = -\frac{1}{10}$ или $x = -0,1$

Ответ: $x=-0,1$.

в) Дано уравнение $\frac{1}{27}x^3 = 0,001$.

Приведем его к виду $x^n = a$. Умножим обе части уравнения на 27:

$x^3 = 0,001 \cdot 27$

$x^3 = 0,027$

Решим уравнение, извлекая корень третьей степени. Показатель степени $n=3$ — нечетный, корень будет один.

$x = \sqrt[3]{0,027}$

Так как $0,3^3 = 0,027$, то $x=0,3$.

Ответ: $x=0,3$.

г) Дано уравнение $\frac{1}{9}x^4 - 16 = 0$.

Приведем его к виду $x^n = a$. Перенесем 16 в правую часть:

$\frac{1}{9}x^4 = 16$

Умножим обе части на 9:

$x^4 = 16 \cdot 9$

$x^4 = 144$

Решим уравнение. Так как показатель степени $n=4$ — четное число, а правая часть $a=144$ положительна, уравнение имеет два действительных корня.

$x = \pm\sqrt[4]{144}$

Упростим корень: $\sqrt[4]{144} = \sqrt[4]{12^2} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

$x_1 = 2\sqrt{3}$, $x_2 = -2\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm 2\sqrt{3}$.

д) Дано уравнение $1 + x^5 = 0$.

Приведем его к виду $x^n = a$. Перенесем 1 в правую часть:

$x^5 = -1$

Решим уравнение. Показатель степени $n=5$ — нечетный, поэтому уравнение имеет единственный действительный корень.

$x = \sqrt[5]{-1}$

$x = -1$

Ответ: $x=-1$.

е) Дано уравнение $x^8 - 16 = 0$.

Приведем его к виду $x^n = a$. Перенесем 16 в правую часть:

$x^8 = 16$

Решим уравнение. Показатель степени $n=8$ — четное число, а правая часть $a=16$ положительна, поэтому уравнение имеет два действительных корня.

$x = \pm\sqrt[8]{16}$

Упростим корень: $\sqrt[8]{16} = \sqrt[8]{2^4} = 2^{4/8} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

$x_1 = \sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{2}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{2}$.