Номер 769, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 769, страница 199.

Условие.

769. Решите графически систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)
Для решения системы графически, построим графики каждого уравнения.
Первое уравнение: $y + x^2 = 5x$. Преобразуем его к виду $y = -x^2 + 5x$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы: $x_v = -5/(2 \cdot (-1)) = 2.5$, $y_v = -(2.5)^2 + 5 \cdot 2.5 = -6.25 + 12.5 = 6.25$. Вершина находится в точке $(2.5, 6.25)$. Точки пересечения с осью Ox: $-x^2+5x=0 \Rightarrow x(5-x)=0 \Rightarrow x=0, x=5$.
Второе уравнение: $2y + 5 = x$. Преобразуем его к виду $y = \frac{1}{2}x - 2.5$. Это уравнение прямой линии с угловым коэффициентом $k = 0.5$ и пересечением с осью Oy в точке $(0, -2.5)$.
Построим графики параболы и прямой на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы.
Из графика видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Определим их координаты. Одна из точек пересечения — $(5, 0)$. Вторая точка имеет координаты $(-0.5, -2.75)$.

Ответ: $(5, 0)$, $(-0.5, -2.75)$.

б)
Рассмотрим уравнения системы.
Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 25$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.
Второе уравнение: $2x^2 + y = 6$. Преобразуем его к виду $y = -2x^2 + 6$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 6)$.
Построим графики окружности и параболы. Вершина параболы $(0, 6)$ находится вне окружности (так как $6 > 5$). Поскольку ветви параболы направлены вниз, она пересечет окружность в четырех точках, симметричных относительно оси Oy.
Найдем приблизительные координаты точек пересечения по графику. Две точки находятся в верхней полуплоскости, а две — в нижней.
Приблизительные координаты: $(\approx 0.7, \approx 4.9)$, $(\approx -0.7, \approx 4.9)$, $(\approx 2.3, \approx -4.4)$ и $(\approx -2.3, \approx -4.4)$.

Ответ: $(\approx 0.7, \approx 4.9)$, $(\approx -0.7, \approx 4.9)$, $(\approx 2.3, \approx -4.4)$, $(\approx -2.3, \approx -4.4)$.

в)
Рассмотрим уравнения системы.
Первое уравнение: $xy = 1$ или $y = 1/x$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптоты — оси Ox и Oy.
Второе уравнение: $x^2 + y^2 = 9$. Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.
Построим графики гиперболы и окружности. Графики пересекаются в четырех точках. Две точки находятся в первом квадранте и две — в третьем, симметрично первым относительно начала координат.
Найдем приблизительные координаты точек пересечения по графику. В первом квадранте одна точка имеет большую координату x и малую y, а другая — наоборот.
Приблизительные координаты точек: $(\approx 2.9, \approx 0.3)$, $(\approx 0.3, \approx 2.9)$, $(\approx -2.9, \approx -0.3)$ и $(\approx -0.3, \approx -2.9)$.

Ответ: $(\approx 2.9, \approx 0.3)$, $(\approx 0.3, \approx 2.9)$, $(\approx -2.9, \approx -0.3)$, $(\approx -0.3, \approx -2.9)$.

г)
Рассмотрим уравнения системы.
Первое уравнение: $xy = -2$ или $y = -2/x$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных квадрантах. Асимптоты — оси Ox и Oy.
Второе уравнение: $y + 8 = \frac{1}{2}x^2$ или $y = \frac{1}{2}x^2 - 8$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -8)$.
Построим графики гиперболы и параболы. Ветвь гиперболы в четвертом квадранте приближается к оси Oy снизу ($y \to -\infty$ при $x \to 0^+$), а парабола имеет вершину в $(0, -8)$. Это означает, что парабола и гипербола пересекутся вблизи вершины параболы. Также, по мере роста x, парабола растет быстрее гиперболы, что приведет ко второму пересечению в IV квадранте. Во втором квадранте графики также пересекутся один раз. Таким образом, система имеет три решения.
Приблизительные координаты точек пересечения: $(\approx 0.25, \approx -8.0)$, $(\approx 3.9, \approx -0.5)$ и $(\approx -4.1, \approx 0.5)$.

Ответ: $(\approx 0.25, \approx -8.0)$, $(\approx 3.9, \approx -0.5)$, $(\approx -4.1, \approx 0.5)$.