Номер 766, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 766, страница 199.

Условие.

766. Расстояние между пунктами A и B равно 160 км. Из A в B выехал велосипедист, и в то же время из B в A выехал мотоциклист. Их встреча произошла через 2 ч, а через 30 мин после встречи велосипедисту осталось проехать в 11 раз больше, чем мотоциклисту. Каковы скорости мотоциклиста и велосипедиста?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.
• Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч.

Расстояние между пунктами A и B составляет $S = 160$ км.

1. Составление первого уравнения.

Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно навстречу друг другу. Их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_с = v_в + v_м$.

По условию, их встреча произошла через $t_1 = 2$ часа. За это время они вместе преодолели все расстояние $S$. Используя формулу $S = v \cdot t$, получаем первое уравнение:

$(v_в + v_м) \cdot 2 = 160$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v_в + v_м = 80$ (1)

2. Составление второго уравнения.

Через 30 минут ($t_2 = 0,5$ часа) после встречи общее время движения каждого из них от старта составило $T = t_1 + t_2 = 2 + 0,5 = 2,5$ часа.

За время $T$ велосипедист проехал расстояние $S_в = v_в \cdot T = 2,5 v_в$. Расстояние, которое ему осталось проехать до пункта B, равно: $S_{в_{ост}} = 160 - 2,5 v_в$.

За время $T$ мотоциклист проехал расстояние $S_м = v_м \cdot T = 2,5 v_м$. Расстояние, которое ему осталось проехать до пункта A, равно: $S_{м_{ост}} = 160 - 2,5 v_м$.

Согласно условию, оставшийся путь велосипедиста в 11 раз больше оставшегося пути мотоциклиста:

$S_{в_{ост}} = 11 \cdot S_{м_{ост}}$

Подставим выражения для оставшихся расстояний и получим второе уравнение:

$160 - 2,5 v_в = 11 \cdot (160 - 2,5 v_м)$ (2)

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_в + v_м = 80 \\ 160 - 2,5v_в = 11(160 - 2,5v_м) \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_в$:

$v_в = 80 - v_м$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$160 - 2,5(80 - v_м) = 11(160 - 2,5v_м)$

Раскроем скобки:

$160 - 200 + 2,5v_м = 1760 - 27,5v_м$

Упростим левую часть:

$-40 + 2,5v_м = 1760 - 27,5v_м$

Перенесем все слагаемые с $v_м$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$2,5v_м + 27,5v_м = 1760 + 40$

$30v_м = 1800$

Найдем скорость мотоциклиста:

$v_м = \frac{1800}{30} = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, подставив найденное значение $v_м$ в первое уравнение:

$v_в = 80 - v_м = 80 - 60 = 20$ км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста равна 60 км/ч, а скорость велосипедиста — 20 км/ч.