Номер 771, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 771, страница 200.

771. Решите систему уравнений:

а) $ \begin{cases} x + xy + y = 11, \\ x - xy + y = 1; \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x + xy + y) + (x - xy + y) = 11 + 1$

$2x + 2y = 12$

$x + y = 6$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + xy + y) - (x - xy + y) = 11 - 1$

$2xy = 10$

$xy = 5$

Получили новую систему:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 5; \end{cases} $

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

$t_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$

$t_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(1; 5)$ и $(5; 1)$.

Ответ: $(1; 5), (5; 1)$.

б) $ \begin{cases} 2x - y - xy = 14, \\ x + 2y + xy = -7; \end{cases} $

Сложим уравнения системы:

$(2x - y - xy) + (x + 2y + xy) = 14 + (-7)$

$3x + y = 7$

Выразим $y$ через $x$: $y = 7 - 3x$.

Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$x + 2(7 - 3x) + x(7 - 3x) = -7$

$x + 14 - 6x + 7x - 3x^2 = -7$

Приведем подобные члены и запишем квадратное уравнение:

$-3x^2 + 2x + 14 = -7$

$-3x^2 + 2x + 21 = 0$

$3x^2 - 2x - 21 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-21) = 4 + 252 = 256$.

$x_1 = \frac{2 - \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 16}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{2 + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 16}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = -\frac{7}{3}$, то $y_1 = 7 - 3(-\frac{7}{3}) = 7 + 7 = 14$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 7 - 3(3) = 7 - 9 = -2$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(-\frac{7}{3}; 14)$ и $(3; -2)$.

Ответ: $(3; -2), (-\frac{7}{3}; 14)$.

в) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34, \\ xy = 15; \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 2: $2xy = 30$.

Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$x^2 + 2xy + y^2 = 34 + 30$

$(x+y)^2 = 64$

Отсюда $x+y = 8$ или $x+y = -8$.

Рассмотрим два случая:

1) $ \begin{cases} x + y = 8, \\ xy = 15; \end{cases} $

По теореме Виета, $x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$.

$(t-3)(t-5) = 0$, откуда $t_1 = 3, t_2 = 5$.

Получаем решения $(3; 5)$ и $(5; 3)$.

2) $ \begin{cases} x + y = -8, \\ xy = 15; \end{cases} $

По теореме Виета, $x$ и $y$ - корни уравнения $t^2 + 8t + 15 = 0$.

$(t+3)(t+5) = 0$, откуда $t_1 = -3, t_2 = -5$.

Получаем решения $(-3; -5)$ и $(-5; -3)$.

Ответ: $(3; 5), (5; 3), (-3; -5), (-5; -3)$.

г) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 12, \\ xy = 8; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{8}{x}$ (так как $xy=8$, то $x \ne 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{8}{x})^2 = 12$

$x^2 - \frac{64}{x^2} = 12$

Умножим обе части уравнения на $x^2$:

$x^4 - 64 = 12x^2$

$x^4 - 12x^2 - 64 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 12t - 64 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 144 + 256 = 400$.

$t_1 = \frac{12 - \sqrt{400}}{2} = \frac{12 - 20}{2} = -4$

$t_2 = \frac{12 + \sqrt{400}}{2} = \frac{12 + 20}{2} = 16$

Так как $t = x^2 \ge 0$, корень $t_1 = -4$ является посторонним.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 16$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = \frac{8}{4} = 2$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = \frac{8}{-4} = -2$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(4; 2)$ и $(-4; -2)$.

Ответ: $(4; 2), (-4; -2)$.