Номер 778, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 778, страница 201.

778. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны ?? и ??, а гипотенуза равна ??.

Из условия задачи нам дано:
Гипотенуза $c = 41$ см.
Площадь $S = 180$ см?.

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами для прямоугольного треугольника: формулой площади и теоремой Пифагора.

1. Формула площади прямоугольного треугольника через катеты: $S = \frac{1}{2} a \cdot b$

2. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известные значения в эти формулы и составим систему уравнений: $ \begin{cases} \frac{1}{2}ab = 180 \\ a^2 + b^2 = 41^2 \end{cases} $

Упростим систему: $ \begin{cases} ab = 360 \\ a^2 + b^2 = 1681 \end{cases} $

Чтобы решить эту систему, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Мы можем переписать ее как $(a+b)^2 = (a^2+b^2) + 2ab$.

Подставим в это выражение значения из нашей системы: $(a+b)^2 = 1681 + 2 \cdot 360$
$(a+b)^2 = 1681 + 720$
$(a+b)^2 = 2401$

Так как длины катетов являются положительными числами, их сумма также будет положительной. Найдем значение $a+b$: $a+b = \sqrt{2401} = 49$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений: $ \begin{cases} a+b = 49 \\ ab = 360 \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, ?? и ?? являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставим значения из системы: $t^2 - 49t + 360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961$
$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

Теперь найдем корни уравнения, которые и будут являться длинами катетов: $t_1 = \frac{49 + 31}{2} = \frac{80}{2} = 40$
$t_2 = \frac{49 - 31}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Следовательно, катеты треугольника равны 40 см и 9 см.

Ответ: 9 см и 40 см.