Номер 779, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

779. Площадь прямоугольного треугольника равна 44 см². Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то площадь будет равна 50 см². Найдите катеты данного треугольника.

Пусть длины катетов исходного прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Согласно условию, начальная площадь равна 44 см². Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$$\frac{1}{2}ab = 44$$

Отсюда следует:

$$ab = 88$$

Далее, по условию, один из катетов уменьшают на 1 см, а другой увеличивают на 2 см. Пусть новые длины катетов будут $(a-1)$ см и $(b+2)$ см. Новая площадь треугольника составляет 50 см². Это дает нам второе уравнение:

$$\frac{1}{2}(a-1)(b+2) = 50$$

Отсюда:

$$(a-1)(b+2) = 100$$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$$\begin{cases} ab = 88 \\ (a-1)(b+2) = 100 \end{cases}$$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$$ab + 2a - b - 2 = 100$$

Теперь подставим $ab = 88$ из первого уравнения в преобразованное второе уравнение:

$$88 + 2a - b - 2 = 100$$

Упростим выражение:

$$86 + 2a - b = 100$$

$$2a - b = 14$$

Из этого уравнения выразим $b$:

$$b = 2a - 14$$

Подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение системы ($ab=88$):

$$a(2a - 14) = 88$$

$$2a^2 - 14a - 88 = 0$$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$$a^2 - 7a - 44 = 0$$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$$

Корни уравнения находятся по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$a_1 = \frac{7 + \sqrt{225}}{2} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

$$a_2 = \frac{7 - \sqrt{225}}{2} = \frac{7 - 15}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Так как длина катета треугольника является положительной величиной, корень $a_2 = -4$ не удовлетворяет условию задачи. Значит, длина одного катета равна 11 см.

Теперь найдем длину второго катета $b$, используя соотношение $ab = 88$:

$$b = \frac{88}{a} = \frac{88}{11} = 8$$

Таким образом, длины катетов данного треугольника составляют 11 см и 8 см.

Проверка:
1. Исходная площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 8 = 44$ см². (Верно)
2. Изменяем катеты: один катет (11 см) уменьшаем на 1 см, получаем $11-1=10$ см; другой катет (8 см) увеличиваем на 2 см, получаем $8+2=10$ см.
3. Новая площадь: $S' = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ см². (Верно)
Все условия задачи выполнены.

Ответ: катеты данного треугольника равны 8 см и 11 см.