Номер 786, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 786, страница 201.

Условие.

786. В арифметической прогрессии (aₙ) сумма шестого и десятого членов равна 5,9, а разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2. Найдите двадцать пятый член этой прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, а $d$ — её разность.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию, сумма шестого и десятого членов равна 5,9. Запишем это в виде уравнения:
$a_6 + a_{10} = 5.9$
Выразим $a_6$ и $a_{10}$ через $a_1$ и $d$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(a_1 + 5d) + (a_1 + 9d) = 5.9$
$2a_1 + 14d = 5.9$

Также по условию разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2. Запишем второе уравнение:
$a_{12} - a_4 = 2$
Выразим $a_{12}$ и $a_4$ через $a_1$ и $d$:
$a_{12} = a_1 + (12-1)d = a_1 + 11d$
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
Подставим эти выражения во второе уравнение:
$(a_1 + 11d) - (a_1 + 3d) = 2$
$a_1 + 11d - a_1 - 3d = 2$
$8d = 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \begin{cases} 2a_1 + 14d = 5.9 \\ 8d = 2 \end{cases} $
Из второго уравнения найдём разность прогрессии $d$:
$d = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.25$

Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти первый член прогрессии $a_1$:
$2a_1 + 14 \cdot (0.25) = 5.9$
$2a_1 + 3.5 = 5.9$
$2a_1 = 5.9 - 3.5$
$2a_1 = 2.4$
$a_1 = \frac{2.4}{2} = 1.2$

Теперь, зная $a_1$ и $d$, мы можем найти двадцать пятый член прогрессии ($a_{25}$):
$a_{25} = a_1 + (25-1)d = a_1 + 24d$
$a_{25} = 1.2 + 24 \cdot (0.25)$
$a_{25} = 1.2 + 6$
$a_{25} = 7.2$

Ответ: 7.2