Номер 787, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 787, страница 201.

Условие.

787. В арифметической прогрессии (aₙ) сумма пятого и десятого членов равна –9, а сумма четвёртого и шестого членов равна –4. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $(a_n)$ — заданная арифметическая прогрессия, где $a_1$ — её первый член, а $d$ — её разность.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Согласно условию задачи, у нас есть два утверждения:

1. Сумма пятого и десятого членов равна -9: $a_5 + a_{10} = -9$.

2. Сумма четвёртого и шестого членов равна -4: $a_4 + a_6 = -4$.

Выразим указанные члены прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу n-го члена:

$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

$a_6 = a_1 + (6-1)d = a_1 + 5d$

$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d$

Теперь подставим эти выражения в исходные уравнения, чтобы составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($a_1$ и $d$):

$ \begin{cases} (a_1 + 4d) + (a_1 + 9d) = -9 \\ (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) = -4 \end{cases} $

Упростим полученную систему:

$ \begin{cases} 2a_1 + 13d = -9 \\ 2a_1 + 8d = -4 \end{cases} $

Решим эту систему. Удобно вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $a_1$:

$(2a_1 + 13d) - (2a_1 + 8d) = -9 - (-4)$

$5d = -5$

$d = -1$

Мы нашли разность прогрессии. Теперь подставим значение $d = -1$ в любое из уравнений системы, например, во второе:

$2a_1 + 8(-1) = -4$

$2a_1 - 8 = -4$

$2a_1 = -4 + 8$

$2a_1 = 4$

$a_1 = 2$

Итак, первый член прогрессии $a_1 = 2$, а разность $d = -1$.

Нам нужно найти сумму первых десяти членов этой прогрессии, $S_{10}$. Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим в формулу значения $n=10$, $a_1=2$ и $d=-1$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 2 + (10-1)(-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{4 + 9 \cdot (-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{4 - 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-5}{2} \cdot 10$

$S_{10} = -5 \cdot 5$

$S_{10} = -25$

Ответ: -25